数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 極限 / Page: 0]

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■37971 / inTopicNo.1)

　極限

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□投稿者/ aya 一般人(1回)-(2009/04/15(Wed) 01:03:47)

a[0]=0 a[n+1]=√(1+a[n]) とする。
（１）数列a[n]が単調増加なことを示せ。
（２）a[n]<　（1+√5）/2　を示せ。
（３）lim[n→∞]a[n] を求めよ。

よろしくお願いします。

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■37972 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ サボテン大御所(371回)-(2009/04/15(Wed) 11:14:38)

2009/04/15(Wed) 11:15:09 編集(投稿者)

方針だけ書いておきます。
まずa[n]>0であることを示しておきます。

すると、a[n+1]-a[n]=√(1+a[n])-a[n]=1/(√(1+a[n])+a[n])>0
より単調増加です。

単調増加より、a[n+1]=√(1+a[n])>a[n]>0
a[n]+1>a[n]^2
よってa[n]<(1+√5)/2

上に有界で単調増加な数列は極限を持つので、x=√(1+x)より
極限値は(1+√5)/2

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■37973 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極限

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□投稿者/ 豆一般人(1回)-(2009/04/15(Wed) 12:39:01)

2009/04/16(Thu) 11:44:15 編集(投稿者)

分子は　1　？

サボテンさんの変形は少しおかしいようなので・・・
a[n+1]-a[n]=√(1+a[n])-√(1+a[n-1])
=(a[n]-a[n-1])/( √(1+a[n])+√(1+a[n-1])
分母＞0より　a[n+1]-a[n]　と　a[n]-a[n-1]　の符合は一致
a[2]-a[1]=1-0=1＞0より、単調増加が示された。

なお、この手の問題ならグラフを書く：
この問題の場合　y=xとy=√(1+x)　のグラフを書くと
どういう具合で数列が変化、収束していくかビジュアルに理解できます。

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■37986 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ miyup 大御所(748回)-(2009/04/18(Sat) 12:33:51)

2009/04/18(Sat) 12:34:47 編集(投稿者)

■No37971に返信(ayaさんの記事)
> a[0]=0 a[n+1]=√(1+a[n]) とする。
> （１）数列a[n]が単調増加なことを示せ。
> （２）a[n]<（1+√5）/2　を示せ。
> （３）lim[n→∞]a[n] を求めよ。

(3)α＝(1+√5)/2 とおく。
　|a[n]-α|
＝|√(1+a[n-1])-α|
＝|{1+a[n-1]-α^2}/{√(1+a[n-1])+α}|
＝|a[n-1]-α|/|√(1+a[n-1])+α|
＜1/α・|a[n-1]-α|
　…
＜(1/α)^n・|a[0]-α|＝(1/α)^(n-1)
すなわち
　0＜|a[n]-α|＜(1/α)^(n-1)
0＜1/α＜1 より
　n→∞ のとき (1/α)^(n-1)→0
よって
　lim[n→∞]|a[n]-α|＝0
∴lim[n→∞]a[n]＝α

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