 | 2009/03/05(Thu) 13:58:45 編集(投稿者)
それではその方針で解いてみますね。
(x^2 )cos^2θ + (y^2)sin^2θ = (cos^2θ)(sin^2θ)
より
(x^2 )(1-sin^2θ) + (y^2)sin^2θ = (1-sin^2θ)(sin^2θ)
(sin^2θ)^2-(x^2-y^2+1)sin^2θ+x^2=0 (A)
∴(A)をsin^2θについての２次方程式と見たときに
0≦sin^2θ≦1
の範囲に少なくとも一つ実数解を持つことが求める条件になります。
そこで
f(t)=t^2-(x^2-y^2+1)t+x^2
と置き横軸にt,縦軸にf(t)を取ったグラフを考えると、求める条件は
(i)0≦(x^2-y^2+1)/2≦1のとき
f((x^2-y^2+1)/2)≦0かつ(0≦f(0)又は0≦f(1))
(ii)(x^2-y^2+1)/2<0,1<(x^2-y^2+1)/2のとき
f(0)f(1)≦0
後は(i)(ii)を具体的に計算していきます。
(i)のとき
0≦(x^2-y^2+1)/2≦1より
-1≦x^2-y^2≦1 (A)
これは2つの双曲線
x^2-y^2=1,-1
で挟まれた部分(境界含む)になります。
f((x^2-y^2+1)/2)≦0より
x^2-{(x^2-y^2+1)/2}^2≦0
∴(2x+x^2-y^2+1)(2x-x^2+y^2-1)≦0
{(x+1)^2-y^2}{y^2-(x-1)^2}≦0
(x+1+y)(x+1-y)(y+x-1)(y-x+1)≦0
{y+(x+1)}{y-(x-1)}{y+(x-1)}{y-(x-1)}≧0 (B)
これは４点(1,0),(0,1),(1,-1),(0,-1)を頂点とする正方形の
周及び内部を表します。
(ii)のとき
(x^2-y^2+1)/2<0,1<(x^2-y^2+1)/2
より
x^2-y^2<-1,1<x^2-y^2 (C)
f(0)f(1)≦0より
(xy)^2≦0
∴xy=0 (D)
(i)(ii)をまとめると求める領域は
これは４点(1,0),(0,1),(1,-1),(0,-1)を頂点とする正方形の周及び内部
と直線x=0,y=0(つまり、x軸とy軸)
となります。
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