 | ありがとうございます。
> pは素数ですか?
さようです。失礼いたしました。
> 以下素数として回答します。
> Z_{p^2}(+)Z_{p^3}はZ_{p^5}と同型ではありません。
一般にn=Πp_i^{r_i} (但し,p_iは素数,r_i∈N)と素因数分解される時,
Z_nの部分群(アーベル群(?)全体の集合は{(+)[i=1..k]Z_{{p_i}^{r'_i}};1≦r'_i≦r_i,r'_1+r'_2+…+r'_k=r,1≦k≦r}となるのですよね。
仮にZ_{p_1^{r'_1}(+)Z_{p_2^{r'_2}(+)…(+)Z_{p_k^{r'_k}という形に表されている時,
最小公倍数LCM(p_1^{r'_1},p_2^{r'_2},…,p_k^{r'_k})がZ_{p_1^{r'_1}(+)Z_{p_2^{r'_2}(+)…(+)Z_{p_k^{r'_k}の位数になるのですよね。
(間違ってましたらご指摘ください)
> p^2とp^3は公約数を持つからです。
なるほど。LCM(p^2,p^3)=p^5/p^2=p^3<p^5なので,位数が異なる。
位数が等しい⇔同型である
が成り立つのですよね。
よってZ_{p^2}(+)Z_{p^3}の位数はp^3なのですね。
> Z_{p^2}の部分群:位数1 1個、位数p 1個、位数p^2 1個
> Z_{p^3}の部分群:位数1 1個、位数p 1個、位数p^2 1個、位数p^3 1個
> 及び、
> p^2=1×p^2,p^2×1,p×pと因数分解できるので、
> Z_{p^2}(+)Z_{p^3}の位数p^2の部分群は3つです。
それら3つとはZ(+)Z_{p^2},Z_p(+)Z_p,Z_p(+)Zでしょうか?
でもZの位数は無限ですよね。
それと{0modp}(+)Z_{p^2},Z_p(+)Z_p,Z_{p^2}(+){0modp}でしょうか?
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