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■37662 / inTopicNo.1)

　名大

□投稿者/ nokym 一般人(6回)-(2009/02/15(Sun) 16:12:29)

微分可能な関数f(x)が、x≧0のときつねに
f'(x)＞0、∫[0→x]f(t)dt≧x
をみたすならば、x＞0の範囲ではf(x)＞1であることを証明せよ

という問題の解法の一つの途中にlim[x→+0](1/x)∫[0→x]f(t)dt=[(d/dx)∫[0→x]f(t)dt](x=0)=f(0)≧1
というのがあるのですが、これは微分の定義を使ってることはわかるのですが、それ以上のことはわかりません。この式変形の意味を教えてください。

(携帯)

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■37663 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 名大

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□投稿者/ だるまにおん一般人(1回)-(2009/02/15(Sun) 19:56:19)

2009/02/15(Sun) 21:02:08 編集(投稿者)
2009/02/15(Sun) 21:01:10 編集(投稿者)

微分の定義より
$2$ \lim_{x \to +0} \frac{1}{x} \displaystyle\int_0^x f(t) dt = f(0)$
一方、条件
$2$ \displaystyle\int_0^x f(t) dt \geq x$
より、
$2$ \lim_{x \to +0} \frac{1}{x} \displaystyle\int_0^x f(t) dt \geq \lim_{x \to +0} \frac{1}{x} \ast x = 1$
したがって
$2$ f(0) \geq 1$
ここで、条件より $2$f(x)$ は単調増加なので、 $2$x > 0$ の範囲では
$2$ f(x) > f(0) \geq 1$
ということではないでしょうか。

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■37666 / inTopicNo.3)

　名大

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□投稿者/ nokym 一般人(8回)-(2009/02/15(Sun) 21:13:36)

すいません

初めの定義よりの式なのですが、なぜ～=f'(0)ではないのでしょうか？

お願いします

(携帯)

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■37667 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 名大

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□投稿者/ だるまにおん一般人(3回)-(2009/02/15(Sun) 21:39:51)

非常に直感的な説明ですが…
$2$f(t)$ の原始関数のひとつを $2$F(t)$ とおく、すなわち
$2$ F'(t) = f(t)$
とおくと、
$2$ \lim_{x \to +0} \frac{1}{x} \displaystyle\int_0^x f(t) dt \\ = \lim_{x \to +0} \frac{F(x)-F(0)}{x-0} \\ = F'(0) \\ =f(0)$
となるわけです。

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■37670 / inTopicNo.5)

　名大

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□投稿者/ nokym 一般人(10回)-(2009/02/15(Sun) 21:59:06)

わかりました。

ありがとうございました

(携帯)

解決済み!

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