 | 2009/01/31(Sat) 14:46:57 編集(投稿者)
■No37517に返信(tonさんの記事)
> a,bは有理数,√aは有理数でないとする.
> 3+√aが方程式g(x)=x^4-5x^3+ax^2+x+b=0の解であるとき,有理数a,bの値を定めよ.またそのとき、g(x)を有理数係数の範囲で既約多項式の積に分解せよ。
g(3+√a)=0 であるから
g(3+√a)=(b+2a^2+18a-51)+(13a-26)√a=0
a,bは有理数より
b+2a^2+18a-51=0 かつ 13a-26=0
∴a=2,b=7
このとき
g(x)=0 は解x=3+√2 を持つので、x^2-6x+7 を因数に持つ
∴g(x)=(x^2-6x+7)(x^2+x+1)
別解
g(x)=0 は解x=3+√a を持つので、x^2-6x+9-a を因数に持つ
g(x)を x^2-6x+9-a で割った余りは (13a-26)x+(2a^2-21a+27+b) であるから
13a-26=0 かつ 2a^2-21a+27+b=0
∴a=2,b=7
以下略
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