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■37450 / inTopicNo.1)

　立体

□投稿者/ 3a 一般人(4回)-(2009/01/23(Fri) 23:35:31)

正四面体を底面に平行な(n-1)枚の平面で高さをn等分するように切る。残りの面に関しても同様に切ると正四面体は幾つの部分に分かれるか、個数を求めよ

この問題の答えではなく、アプローチの仕方(ヒントのようなもの)を教えてください
どうやったら一般化した形に持っていけるのか全くわかりません

(携帯)

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■37455 / inTopicNo.2)

　（削除）

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□投稿者/ -(2009/01/24(Sat) 01:22:48)

この記事は(投稿者)削除されました

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■37458 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 立体

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□投稿者/ らすかる大御所(505回)-(2009/01/24(Sat) 06:35:09)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞DANDY　Uさん
正四面体でない立体も生成されるのでは？

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■37461 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 立体

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□投稿者/ DANDY　U 一般人(36回)-(2009/01/24(Sat) 08:52:29)

2009/01/24(Sat) 08:57:54 編集(投稿者)

> らすかるさん
ご指摘有難うございます。仰るとおりですね。
> 3aさん
十分確認せずに回答してしまい、失礼しました。（無用なものですので削除しておきます）

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■37481 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 立体

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□投稿者/ らすかる大御所(509回)-(2009/01/26(Mon) 09:25:48)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

まず各段の断面図（三角形が集まって大きい三角形が出来る図）を描いて、
「元の正四面体と同じ向きの小さい正四面体」
「元の正四面体と異なる向きの小さい正四面体」
「それ以外の立体」
に分けて数えてみてはどうでしょうか。

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■37485 / inTopicNo.6)

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□投稿者/ 3a 一般人(6回)-(2009/01/26(Mon) 17:01:39)

n=2のとき、1+(3+1)=5個
n=3のとき、1+(3+1)+9+1=15個で合ってますでしょうか？
(n=2のとき、三角形でない立体が1つ、n=3のとき三角形でない立体が1+1=2個)

ということは
最下段の三角形の個数を3、9、16… と予想し、三角形でない立体の個数を1、2、3…と予想すると

1+(3+9+16+…)+(n-1)=n(n+1)(n+11)/6-5n+2となりませんか？
(少なくともn=2,n=3では成り立ちます)

(答えは違うみたいです)

ちなみに
http://www2.ezbbs.net/cgi/bbsi?id=eijitkn&dd=34&aid=&apw=にもあります

(携帯)

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■37487 / inTopicNo.7)

　Re[3]: a

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□投稿者/ らすかる大御所(510回)-(2009/01/26(Mon) 18:40:37)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

3,9,16,… とは何の数列ですか？
「最下段の三角形」ならば 1,4,9,16,… です。
しかし「最下段の三角形」を足してもあまり意味がないと思います。

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■37489 / inTopicNo.8)

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□投稿者/ 3a 一般人(7回)-(2009/01/26(Mon) 18:57:55)

最下段(例えば2等分した場合、その下の段)をある(正四面体の底面に平行な)平面で切ったときの、その断面における三角形の個数です。

この三角形の個数が、実際にその下の段に含まれてる正四面体の個数になるわけですよね？(三角形でない物は、つまり正四面体でない立体です)

(携帯)

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■37490 / inTopicNo.9)

　Re[5]: r

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□投稿者/ らすかる大御所(511回)-(2009/01/26(Mon) 19:38:47)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞最下段(例えば2等分した場合、その下の段)をある(正四面体の底面に平行な)
＞平面で切ったときの、その断面における三角形の個数です。

もしかして、切れ目ではなく各段の途中で切った場合ということでしょうか？
そう切った場合は、上から順に 1,3,7,13,… となりますので
「3,9,16」という数は出てこないと思います。

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■37492 / inTopicNo.10)

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□投稿者/ 3a 一般人(8回)-(2009/01/26(Mon) 21:04:01)

n=3のときの断面の図をここに載せることはできますか？

また、正四面体でない立体はどのように予想できるのでしょうか？

(携帯)

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■37494 / inTopicNo.11)

　Re[7]: r

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□投稿者/ らすかる大御所(512回)-(2009/01/26(Mon) 22:21:41)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

段の途中でなく、切れ目の図だけで十分だと思います。
例えばn=2の底面（n=3ならば最下段とその上の段の間）の場合、
全体の三角形と同じ向きの小三角形（△）が３個、
異なる向きの小三角形（▽）が１個ありますね。
△は上の段の正四面体の底面であり、下の段の（正四面体でない）立体の上面です。
▽は上の段の（正四面体でない）立体の底面であり、下の段の（下向きに尖った）
正四面体の底面です。
これは全ての段で同じですから、各段間の△の個数と▽の個数がわかれば
立体の個数は計算できますね。

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■37496 / inTopicNo.12)

　Re:

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□投稿者/ 3a 一般人(9回)-(2009/01/26(Mon) 23:53:05)

答えはそうすると
an=n(n^2+1)/2 (n≧2)
であってますよね？

ありがとうございます

ちなみにこの問題はどれくらいの難易度なんでしょうか？
(超難関大レベル等)
(ほかの受験生はできるのかなぁと思ったので)
また、もう一つの掲示板(http://www2.ezbbs.net/cgi/bbsi?id=eijitkn&dd=34&aid=&apw=)で他の回答者に教えてもらった座標空間への置き換えの問題の答えもこれでよろしいですよね？

(携帯)

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■37498 / inTopicNo.13)

　Re[9]: Re:

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□投稿者/ らすかる大御所(514回)-(2009/01/27(Tue) 01:17:52)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞答えはそうすると
＞an=n(n^2+1)/2 (n≧2)
＞であってますよね？

私もその答えになりました。
nは1でも問題ないと思います。

＞ちなみにこの問題はどれくらいの難易度なんでしょうか？
＞(超難関大レベル等)

切ってどうなるかさえ想像できればあとは簡単な数列の和の計算問題ですから、
少なくとも「超難関大レベル」ということはないと思います。

＞また、もう一つの掲示板(http://www2.ezbbs.net/cgi/bbsi?id=eijitkn&dd=34&aid=&apw=)で
＞他の回答者に教えてもらった座標空間への置き換えの問題の答えもこれでよろしいですよね？

何のために座標空間に置き換えているのかわかりませんが、
結局三角形を数えるという方針のようなので同じことですね。

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■37499 / inTopicNo.14)

　Re:

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□投稿者/ 3a 一般人(10回)-(2009/01/27(Tue) 02:03:01)

わかりました。

ありがとうございました。

(携帯)

解決済み!

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