数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 相加・相乗平均 / Page: 0]

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■37418 / inTopicNo.1)

　相加・相乗平均

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□投稿者/ mizuki 一般人(1回)-(2009/01/21(Wed) 18:17:55)

教えてください!!

ｘが実数全体を動くとき、

x^4-2x^3+2x^2-x+4/x^2-x+1

の最小値を求めよ。

相加相乗に持ち込む式変形がわかりません。
よろしくお願いします。

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■37425 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 相加・相乗平均

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□投稿者/ とー一般人(1回)-(2009/01/22(Thu) 09:14:09)

まず（ｘ＾２ーｘ＋１）＾２を計算してみると
　　＝ｘ＾４－２ｘ＾３＋３ｘ＾２－２ｘ＋１
これを分子の式とひかくして

分子＝x^4-2x^3+2x^2-x+4
　　＝（ｘ＾２－ｘ＋１）＾２　－ｘ＾２＋ｘ＋３
　　＝（ｘ＾２－ｘ＋１）＾２　－（ｘ＾２－ｘ＋１）＋４

よって今回の式は

｛（ｘ＾２－ｘ＋１）＾２　－（ｘ＾２－ｘ＋１）＋４｝／（ｘ＾２－ｘ＋１）
分子のそれぞれの項を分母でわり
＝（ｘ＾２－ｘ＋１）－１＋（４／ｘ＾２－ｘ＋１｝
＝（ｘ＾２－ｘ＋１）＋（４／ｘ＾２－ｘ＋１｝－１　・・・・①

①の最初の２項（ｘ＾２－ｘ＋１）＋（４／ｘ＾２－ｘ＋１｝で相加相乗を使います
ｘ＾２－ｘ＋１＝ｔとおくと
ｔ＋４／ｔ≧２√（ｔ・４／ｔ）
ｔ＋４／ｔ≧４　

（ｘ＾２－ｘ＋１）＋（４／ｘ＾２－ｘ＋１｝≧４
よって①を考えると
（ｘ＾２－ｘ＋１）＋（４／ｘ＾２－ｘ＋１｝－１　≧４－１
（ｘ＾２－ｘ＋１）＋（４／ｘ＾２－ｘ＋１｝－１　≧３

よって最小値３

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■37429 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 相加・相乗平均

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□投稿者/ 豆一般人(2回)-(2009/01/22(Thu) 10:19:06)

横から少しコメント
１．先ず、分数は分母子をはっきりさせるために括弧を使いましょう。
２．とさんのように2乗しなくても、普通に割り算して、
　　分子=（分母）(x^2-x)+4　からでも同様の式が得られます。

また、全体の答案としては以下の点も注意が必要です。

３．相加相乗平均の関係は正の場合に成立するので、その検証が必要です。
　　x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4≧3/4＞0
４．xは実数なので、実数の範囲で等号が成立することも検証が必要です。
　　等号成立はx^2-x+1=4/(x^2-x+1)のとき、
　　つまり、x^2-x+1=2＞3/4のときで、確かに成立する。

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■38895 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 相加・相乗平均

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□投稿者/ a 一般人(1回)-(2009/07/06(Mon) 18:20:23)