数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 素数に関して / Page: 0]

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■37379 / inTopicNo.1)

　素数に関して

□投稿者/ さゆり一般人(9回)-(2009/01/19(Mon) 19:06:10)

次ぎの命題を自作・証明しました。正しいでしょうか。
コメントお願いします。
「ｑを２以上の整数、ｐを素数とする。
　　整数aについて、a＾ｑがｐの倍数ならばaはｐの倍数である。」
（証明）
　　今、ｐを任意な素数、ｑをｑ≧２なる任意の整数とする。
　　　ｐの（正）の約数は１とｐ（＞１）のみで、ｐ＾ｑ＞ｐで、ｐ＾ｑ≠ｐ
　　　だから、ｎ＾ｑ＝ｐとなる正整数ｎは存在しない。
　　　　よって、a＾ｑがｐを因数にもつためには、aがｋｐ（ｋ整数）を因数
　　　として持ち、a＾ｑがｐ＾ｑとしての因数をもつことが必要である。
　　　　つまりaがｐの倍数でなければならない。（証明終）
　　　

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■37380 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 素数に関して

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□投稿者/ kei 一般人(22回)-(2009/01/19(Mon) 19:26:29)

正しいですが、証明がすこし冗長です。というか、その命題は自明です。(a,a^qの素因数分解を考えれば、)aが素数pの倍数でなければ、a^qがpの倍数でないことは当たり前ですね。

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■37381 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 素数に関して

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□投稿者/ さゆり一般人(10回)-(2009/01/19(Mon) 19:44:35)

Keiさん、ありがとうございます。
　私も「自明」であることは、認識していましたが、あえて「整数の素因数分解」を持ち出さないで証明したいと考えた結果、あのような証明を考えてみました。
　よく問題を解いていると、
「aを整数として、a＾２やa＾３が３（や２や他の素数）の倍数だから、
　　aは３（２や他の素数）の倍数である」という論証（？）が自明として
　使われていますので、きちんと証明したいと思いあれこれ考えた結果でした。
また、いろいろアドバイス頂ければ嬉しいです。
　ありがとうございました。

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■37383 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 素数に関して

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□投稿者/ らすかる大御所(494回)-(2009/01/19(Mon) 21:07:24)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

素因数分解を考えずに厳密に証明するならば、論理の飛躍があります。

＞…だから、ｎ＾ｑ＝ｐとなる正整数ｎは存在しない。
n^q=p となる正整数nが存在しないというところまでは良いですが、
n^q=p^2 とか n^q=p^3 となる正整数nが存在しないかどうかが証明されていません。
従ってここからいきなり
＞よって、a＾ｑがｐを因数にもつためには、aがｋｐ（ｋ整数）を因数として持ち、
とするのは論理が飛躍しています。

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■37386 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 素数に関して

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□投稿者/ さゆり一般人(11回)-(2009/01/19(Mon) 23:19:47)

らすかるさん、お返事ありがとうございます。
先程の私の表現が悪かったでしょうか？
整数aについて、
「a＾２＝（２の倍数）⇒aは（２の倍数）」とか
「a＾３＝（２の倍数）⇒aは（２の倍数）」とか
「a＾４＝（７の倍数）⇒aは（７の倍数）」などと自明として、
いることが多いですよね。
　ということを言いたかったのです。
よろしく、お願いします。

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■37391 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 素数に関して

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□投稿者/ らすかる大御所(495回)-(2009/01/20(Tue) 03:56:24)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

さゆりさんはそれらのことを自明としない証明を書かれたのですよね？
しかしそれらのことが自明でないならば、
＞よって、a＾ｑがｐを因数にもつためには、aがｋｐ（ｋ整数）を因数
＞として持ち、a＾ｑがｐ＾ｑとしての因数をもつことが必要である。
の理由が証明されていないので正しい証明にはなっていない、と書きました。

簡単に言うと
「a＾４＝（７の倍数）⇒aは（７の倍数）」
などを自明とするならばさゆりさんの証明は冗長、
自明としないならば証明は不十分ということです。

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■37403 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 素数に関して

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□投稿者/ さゆり一般人(12回)-(2009/01/20(Tue) 19:09:20)

らすかるさん、
ご指摘の内容、把握しました。ありがとうございました。

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