 | 難問だと思います。掲示板ですべてをきちんと説明するのは無理なので、ポイントだけ書きます。
傾きが 5/2 の直線は、y=5/2 x +b とかけます。問題を直線の方を主役にして言い換えると、
「y=5/2 x +b に対して、すべての格子点 (m,n)との距離を計算し、その最小値（０でもよい）を d(b) とする。b が実数全体を動く時に d(b)の最大値をもとめよ」
となります。以下概略を述べます。
1. y=5/2 x +b は 5x-2y+2b=0 とかける。
2. 5×1-2×2=1 を利用すれば、原点を設定しなおして、-1/2≦b≦1/2 としてもよい。
3. x方向に 2, y方向に 5 移動しても、格子点と y=5/2 x +b の位置関係がかわらないことに注意すると、すべての(m,n)についての距離の最小値は、(0,0), (1,2), (1,3), (2,5) の４点との距離の最小値と等しいことがわかる（ここはちょっと考えないといけませんが、-1/2≦b≦1/2 に注意してグラフをかいてみてください）。
4. 点と直線の距離の公式にあてはめるか、判別式をつかうかすれば、これらの点との距離がわかる。
5. bの値に応じて場合分けすれば、d(b)がわかる。
6. 場合わけに応じて d(b)のグラフを書いてみると最大値が 1/(2√29) であることがわかる(y= (5/2) x + (1/4)が最大値を実現する直線の１つ）。
（独り言）
なお、蛇足ですが、3 のような考え方は、長方形のテーブルでビリヤードをするような問題でも使われます。中学か高校で一度はみたことがあるのではないでしょうか。本問では、直線は壁で反射するのではなく、突き抜ける形になるので、テーブルの反対側から沸いてくるイメージになります（独り言おわり；独り言はわからなくても気にしないでください）。
|