数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ / Page: 0]

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■37118 / inTopicNo.1)

　Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ

□投稿者/ 134no 一般人(1回)-(2008/12/08(Mon) 03:48:48)

VをC上の有限次元線形空間とせよ(Cは複素数体)。そしてA:V→Vを線形写像とせよ。
Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ。

という問題です。
取り合えず固有値が0だというのだからAx=0と書けると思います。
それからどうすればA^r=Oが導けますでしょうか?

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■37119 / inTopicNo.2)

　Re[1]: Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ

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□投稿者/ サボテン大御所(336回)-(2008/12/08(Mon) 08:29:22)

2008/12/08(Mon) 08:30:07 編集(投稿者)

ケーリーハミルトンの定理より、λ_iを固有値とすると一般に
Π_i(A-λ_iE)=0 (Eは単位行列)
今全ての固有値が0なので、A^r=0となります。

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■37126 / inTopicNo.3)

　Re[2]: Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ

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□投稿者/ 134no 一般人(3回)-(2008/12/09(Tue) 12:11:44)

ありがとうございます。

> ケーリーハミルトンの定理より、

Aとλの固有多項式をf_A(λ)=Σ[i=0..n]a_iλ^iとするとf_A(A)=Oという定理ですよね。

> λ_iを固有値とすると一般に
> Π_i(A-λ_iE)=0 (Eは単位行列)

どこからこの式が出て来るのでしょうか?

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■37129 / inTopicNo.4)

　Re[3]: Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ

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□投稿者/ xy 一般人(17回)-(2008/12/09(Tue) 20:15:27)

> どこからこの式が出て来るのでしょうか?

固有多項式そのもの

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■37134 / inTopicNo.5)

　Re[4]: Aの全固有値が0ならばAはnilpoten(∃r∈N;A^r=O)である事を示せ

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□投稿者/ 134no 一般人(5回)-(2008/12/11(Thu) 09:49:58)

>> どこからこの式が出て来るのでしょうか?
> 固有多項式そのもの

固有多項式はdet(A-λI)ではないでしょうか。。。?