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まず, ∫sinθ/(cosθ+1)^4dθ を計算します。
cosθ+1=u とおき置換積分すると
∫sinθ/(cosθ+1)^4dθ=1/(3(cosθ+1)^3)
以上を用いると
∫{θsinθ/(cosθ+1)^4}dθ=∫(θ*(1/(3(cosθ+1)^3))')dθ
=θ/(3(cosθ+1)^3)-1/3*∫dθ/(cosθ+1)^3
また
∫dθ/(cosθ+1)^3=1/8*∫dθ/cos^6(θ/2)
∫dθ/cos^6(θ/2)=∫dθ/(cos^4*cos^2(θ/2))
=2∫(1+tan^2(θ/2))(1+tan^2(θ/2))dθ/(2cos^2(θ/2))
tan(θ/2)=t とおくと
dθ/(2cos^2(θ/2))=dtより
∫dθ/cos^6(θ/2)=2∫(1+t^2)(1+t^2)dt
=2t(1+(2/3)*t^2+(1/5)*t^4)
=2tan(θ/2)(1+(2/3)*t^2+(1/5)*t^4)
=2tan(θ/2)(1+(2/3)*tan(θ/2)^2+(1/5)*tan(θ/2)^4)
よって 答えは
θ/(3(cosθ+1)^3)-1/12*tan(θ/2)(1+(2/3)*tan(θ/2)^2+(1/5)*tan(θ/2)^4)+Const
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