 | 問題は正確に書きましょう。
>④＝∑(k=0,m)∑(j=0,n)mCk・nCj・a~(k+j)
>⑤＝∑(i=0,m+n)∑(k=0,i)mCk・nCm-k・a~i
(5)の nC(m-k) は nC(i-k) の間違いですね。
両者は実際には等しくありません。
ただし、m≦n であって、aCb=0 (b>a) と約束すれば等しくなります(m≦nの条件は書いてありませんが、これがないとダメです）。
よく分からない時は、m,n に具体的な数字を入れてみるのが基本です。聞く前に、何はともあれ具体例に当たってみることをおすすめします。
m=1,n=2 の場合に書き下してみますので、一般の場合はご自分でどうぞ。
(4)=∑(k=0,1)∑(j=0,2)1Ck・2Cj・a^(k+j)
=1C0*2C0*a^0+1C0*2C1*a+1C0*2C2*a^2 + 1C1*2C0*a+1C1*2C1*a^2+1C1*2C2*a^3
=(1C0*2C0)*1+(1C0*2C1+1C1*2C0)*a + (1C0*2C2+1C1*2C1)*a^2+(1C1*2C2)*a^3
=(1C0*2C0)*1+(1C0*2C1+1C1*2C0)*a + (1C0*2C2+1C1*2C1+1C2*2C0)*a^2+(1C0*2C3+1C1*2C2+1C2*2C1+1C3*2C0)*a^3 (b>a の時aCb=0 としてます）
=Σ_[k=0,0](1Ck*2C(0-k))*1+Σ_[k=0,1] 2Ck*1C(1-k)*a + Σ_[k=0,2] 2Ck*1C(2-k)*a^2+Σ_[k=0,3] 2Ck*1C(3-k) a^3
=Σ_[i=0,3] Σ_[k=0,i] (2Ck*1C(i-k))*a^i
=(5)
#出典は玉川ですかね。
|