 | 僭越ですが、簡単に。
一言で言えば、方程式と恒等式の違いです。
> 4x^3-(a-2)x-(a+4)=0は整数でない有理数解をもつ。
その解を x としてみましょう。x は整数でない有理数です。
この式はあくまでも「方程式」（特定のx,aについて成立する）であって「恒等式」(xの値によらず成立する、あるいは多項式として0に等しい）ではありません。
>a=(4x^3+2x-4)/(1+x)
xは整数でないから、1+x も整数ではありません。整数でない有理数に対して「割り切れる」といっても無意味です。
もし、この式が「恒等式」（どんなxでも成立する、あるいは分数式として等しい）なのであれば、4x^3+2x-4 は (1+x) で割り切れる、といえますが、今はもちろんそうではありません。
この論法が正しければ、次のことも言えるはずです。
x^2-3x+2=0
が整数解をもつとする(実際解はx=1,2です）。3x=x^2+2 で x=0 はこの方程式の解ではないから、両辺を x で割って 3=(x^2+2)/x となる。左辺は整数だから、x^2+2 が x で割り切れなければならない。これは矛盾(*)だから、元の方程式は整数解をもたない。
(*)本当は矛盾でも何でもありません。x=1,2 を代入してみれば、3 は 1で割り切れますし、6 は 2 で割り切れます。でも他の x についてはそうとは限りません（方程式ですから）。
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