数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 軌跡 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■36900 / inTopicNo.1)

　軌跡

□投稿者/ 数学勉強者一般人(30回)-(2008/11/27(Thu) 23:38:29)

x=2sinθ-cosθ+2,y=sinθ+2cosθ-3によってあらわされる点(x,y)はどのような軌跡を描くか。

sinθ,cosθを消去してx,yの関係式を得たいのですが、、、
sinθ^2+cos^2θ=1などを使って解くのでしょうか…

アドバイスください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■36901 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 軌跡

▲▼■

□投稿者/ Gauss 一般人(1回)-(2008/11/27(Thu) 23:54:25)

x=2sinθ-cosθ+2,y=sinθ+2cosθ-3をそれぞれ定数項を左辺に移項する。
両辺2乗して加える。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■36903 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 軌跡

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン一般人(1回)-(2008/11/28(Fri) 01:39:46)

数学勉強者さん，こんばんわ。

> x=2sinθ-cosθ+2,y=sinθ+2cosθ-3によってあらわされる点(x,y)はどのような軌跡を描くか。
>
> sinθ,cosθを消去してx,yの関係式を得たいのですが、、、
> sinθ^2+cos^2θ=1などを使って解くのでしょうか…
>
> アドバイスください。

軌跡の問題は「同値変形」を十分に意識して解く必要があります。同値変形を意識せずに適当にパラメータを消去しただけでは，軌跡の限界を追求することができず，結局いつまでたっても軌跡の問題を完璧に解けるようにはなりません。

この問題の場合は，
$2$ (*)\left\{ \begin{array}{l} x = 2\sin \theta - \cos \theta + 2 \\ y = \sin \theta + 2\cos \theta - 3 \end{array} \right.$
を満たす実数 $2$\theta$ が存在するような点 $2$(x,y)$ の集合を求めることになります。そこで， $2$(*)$ を同値変形すると，
$2$ (*)\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sin \theta - \cos \theta = x-2 \\ \sin \theta + 2\cos \theta = y+3 \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} \cos \theta \\ \sin \theta \end{array} \right)=\left( \begin{array}{l} x-2 \\ y+3 \end{array} \right)\\ \Longleftrightarrow \left( \begin{array}{l} \cos \theta \\ \sin \theta \end{array} \right) =\frac{1}{5}\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} x-2 \\ y+3 \end{array} \right)\\ \Longleftrightarrow \cos \theta = \frac{1}{5}(2x+y-1),\quad \sin \theta=\frac{1}{5}(-x+2y+5)$
だから， $2$(*)$ を満たす実数 $2$\theta$ が存在するための条件は，
$2$ \left\{\frac{1}{5}(2x+y-1)\right\}^{2}+\left\{\frac{1}{5}(-x+2y+5)\right\}^{2}=1 \\ \Longleftrightarrow (2x+y-1)^{2}+(-x+2y+5)^{2}=25 \\ \Longleftrightarrow \cdots$
となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■36915 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 軌跡

▲▼■

□投稿者/ Orb 一般人(3回)-(2008/11/29(Sat) 13:37:54)

2008/11/29(Sat) 15:20:02 編集(投稿者)
2008/11/29(Sat) 15:19:48 編集(投稿者)

■No36900に返信(数学勉強者さんの記事)
> x=2sinθ-cosθ+2,y=sinθ+2cosθ-3によってあらわされる点(x,y)はどのような軌跡を描くか。
>
> sinθ,cosθを消去してx,yの関係式を得たいのですが、、、
消去はあとで

単位円に　図の線型写像（拡大）<固有値と固有vectorも容易＞

を作用させ、平行移動

　　　　で
中心、半径は直ぐ求められる;
(x-_)^2+(y-_)^2=_^2

507×354 => 250×174

1227933474.gif/3KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター