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(1)で0<x<π/2 のとき, 2x/π<sin xが成り立つことを示せ。という問題の後で
lim[r→∞]r∫[0→π/2]e^{-r^2sin x}dx を求めよ。という問題です。
解答では (1)より e^{-r^2sin x}<e^{(-2r^2x)/π}
ゆえに
∫[0→π/2]e^{-r^2sin x}dx<∫[0→π/2]e^{(-2r^2x)/π}dx=π(1-e^{-r^2})/(2r^2)
よって、
0<r∫[0→π/2]e^{-r^2sin x}dx<∫[0→π/2]e^{(-2r^2x)/π}dx=π(1-e^{-r^2})/(2r)
この左辺の0ですが、rがプラスかマイナスか分かっていないのに正としているのは、r→∞でrが正としてもよいからですか？
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