数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[10]: 証明問題 / Page: 0]

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■36779 / inTopicNo.1)

　証明問題

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□投稿者/ ちずる一般人(1回)-(2008/11/15(Sat) 16:24:09)

代数の証明問題です。

(2^(100)-1)^(99)を100で割った余りを求めよ。

どなたか分かる方、宜しくお願いします。

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■36782 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明問題

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□投稿者/ ハゲ男爵一般人(1回)-(2008/11/15(Sat) 21:49:43)

７１かな？

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■36784 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 証明問題

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□投稿者/ らすかる大御所(465回)-(2008/11/15(Sat) 22:32:59)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2^100≡0(mod4)
2^100-1≡-1(mod4)
(2^100-1)^99≡-1(mod4)

2^10=1024≡-1(mod25)
2^100≡1(mod25)
2^100-1≡0(mod25)
(2^100-1)^99≡0(mod25)

よって
(2^100-1)^99≡75(mod100)

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■36787 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 証明問題

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□投稿者/ ちずる一般人(2回)-(2008/11/16(Sun) 00:12:19)

質問なのですが、

2^100≡0(mod4)
の式のmod4というのはどこから分かったのでしょうか？
あと下の式の
2^100-1≡-1(mod4)
の右辺にでてきている-1というのもどこからでてきたのでしょうか？

宜しくお願いします。

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■36793 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 証明問題

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□投稿者/ らすかる大御所(466回)-(2008/11/16(Sun) 03:22:08)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

> 2^100≡0(mod4)
> の式のmod4というのはどこから分かったのでしょうか？

問題はmod100ですが、100=2^2×5^2ですから
mod4とmod25を求めればmod100は求まりますね。

> あと下の式の
> 2^100-1≡-1(mod4)
> の右辺にでてきている-1というのもどこからでてきたのでしょうか？

2^100≡0(mod4)の両辺から1引いただけです。

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■36798 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 証明問題

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□投稿者/ なち一般人(5回)-(2008/11/16(Sun) 13:38:46)

なるほど！！

あとまだ質問があるのですが、
2^100≡1(mod25)っていうのは2^100≡0(mod25)ではないのですか？

あと、mod4とmod25を求めればmod100が求まるのは分かるのですが、そこから
(2^100-1)^99≡75(mod100)
の式の右辺にはる75というのはどこから出たのですか？

宜しくお願いします。

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■36801 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 証明問題

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□投稿者/ らすかる大御所(467回)-(2008/11/16(Sun) 14:58:28)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

> 2^100≡1(mod25)っていうのは2^100≡0(mod25)ではないのですか？

なぜですか？
2^100は明らかに25で割り切れませんよ。

> あと、mod4とmod25を求めればmod100が求まるのは分かるのですが、そこから
> (2^100-1)^99≡75(mod100)
> の式の右辺にはる75というのはどこから出たのですか？

0～99の中で25で割り切れる数は0,25,50,75の4個だけで、
それぞれを4で割ると余りは0,1,2,3ですから、
条件に当てはまる数は75しかありませんね。

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■36802 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 証明問題

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□投稿者/ なち一般人(6回)-(2008/11/16(Sun) 15:38:01)

あっ、そうですね割り切れないです；

0～99の中で25で割り切れる数は0,25,50,75の4個だけで、
それぞれを4で割ると余りは0,1,2,3
は分かったのですが、条件に当てはまるというのはどういうことですか？

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■36803 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 証明問題

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□投稿者/ らすかる大御所(468回)-(2008/11/16(Sun) 15:47:28)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2008/11/16(Sun) 15:48:50 編集(投稿者)

(2^100-1)^99≡-1(mod4)
なので
(2^100-1)^99を4で割ると3余ります。
これに当てはまるのは0,25,50,75のうち75だけですね。

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■36804 / inTopicNo.10)

　Re[8]: 証明問題

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□投稿者/ なち一般人(7回)-(2008/11/16(Sun) 15:51:08)

ありがとうございました。
理解できました！

解決済み!

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■36805 / inTopicNo.11)

　Re[9]: 証明問題

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□投稿者/ なち一般人(8回)-(2008/11/16(Sun) 16:00:53)

聞き忘れがありました；

2^10=1024≡-1(mod25)
2^100≡1(mod25)
の、1つ目の式の右辺に-1がでてきているのですが、これってなんですか？
またその-1が2つ目の式では1になっているのですが何でなのでしょうか；

宜しくお願いします。

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■36810 / inTopicNo.12)

　Re[10]: 証明問題

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□投稿者/ らすかる大御所(470回)-(2008/11/17(Mon) 00:24:02)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

> 1つ目の式の右辺に-1がでてきているのですが、これってなんですか？

modの意味わかってます？
もし曖昧にしかわかっていないのでしたら、ちゃんと理解してから
私の回答を読んだ方がいいと思いますよ。そうしないと身に付かないと思います。

1024は25で割ったら24余る（＝1足りない）ので、≡-1(mod25)と書けます。
もちろん 1024≡24(mod25) とか 1024≡49(mod25) のようにも書けますが、
その後のためには 1024≡-1(mod25) とするのがベストです。

> またその-1が2つ目の式では1になっているのですが何でなのでしょうか；

2^10≡-1(mod25)
の両辺を10乗すれば
2^100≡1(mod25)
です。

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