 | ■No36707に返信(seiyaさんの記事)
> 球以外で、x軸の周りの回転体であり、y軸の周りの回転体でもあり、z軸の周りの回転体でもあるような図形ってあるものでしょうか。
> とある問題を解いていたらそんな図形になるような…でも球以外にはないような気もします。
> 教えてください。お願いします。
半径3の球から半径1の同心級を取り除いた立体は球とは呼ばれませんが、条件を満たす立体です。
このようなほぼ自明の場合を除けば、球だけに限られると思います。すなわち、次の命題が成り立つかと。
命題
原点Oの3次元空間内の有界な立体(有限の半径を持つ球にすっぽりおさまるような立体)Mで、x,y,z軸に関して回転体となっているものは球に限る。
(以下、証明(というより説明))
まず、Mの点で原点から最も遠い点をPとします。(このような点が取れるかどうか、という問題はありますが、そもそも命題自体が厳密でない(立体などという未定義な言葉を使っている)ので、取れそうだと思って目をつむる(ちなみに、有界という条件から、Pは無限遠点ではない。)
すると、仮定から、線分OPはMに含まれる
よって、Mは、原点を中心とし、半径OPの球にすっぽり含まれる
以下、この球とMが一致することを簡単に説明します
まず、Mは線分OPを含むので、線分OPをx軸に関して一回転させてできる図形をも含む
また、この円錐のような図形をy軸の周りに一回転させてできる図形をも含む
また、この図形をz軸の周りに一回転させてできる図形をも含む
この図形は明らかに原点O,半径OPの球を含んでいる(よって一致している)
以上で説明終わり。
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