数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 座標平面上の直線 / Page: 0]

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■36684 / inTopicNo.1)

　座標平面上の直線

□投稿者/ ゆきこ一般人(1回)-(2008/11/05(Wed) 23:11:07)

座標平面上に、直線y=mx…①と2点A(-1,-1),B(5,1)がある。このとき、次の問いに答えよ。

Ⅰ　2点A,Bを直線の両端とする円の方程式を求めよ。
Ⅱ　直線①がⅠの円によって切り取られる積分の長さが6以上となるようなｍの値の範囲を求めよ。
Ⅲ　直線①がⅠの円によって切り取られる積分の中点Ｍの軌跡を求めよ。

誰か、手伝ってもらえませんか？

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■36688 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 座標平面上の直線

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□投稿者/ DANDY　U 一般人(21回)-(2008/11/06(Thu) 01:48:19)

手伝うにも意味不明。

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■36690 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 座標平面上の直線

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(17回)-(2008/11/06(Thu) 08:22:04)

2008/11/06(Thu) 13:39:23 編集(投稿者)
2008/11/06(Thu) 08:23:58 編集(投稿者)

積分と違って線分ですよね？ > IIとIII

I
$2$(x-2)^{2}+y^{2}=10$

II
円の中心 $2$(2,0)$ と直線①との距離が1以下であればよい
距離を $2$d$ として，

$2$\displaystyle d=\frac{|2m|}{\sqrt{m^{2}+1}}\leq{1}$

これを解いて， $2$\displaystyle -\frac{\sqrt{3\,}}{3}\leq{m}\leq\frac{\sqrt{3\,}}{3}$

III
中点の座標を $2$(X,Y)$ とおくと，

$2$\displaystyle X=\frac{2}{m^{2}+1},Y=\frac{2m}{m^{2}+1}$

% ここから誤り
% これより， $2$m$ を消去して， $2$\displaystyle (X-1)^{2}+\frac{Y^{2}}{4}=1(X\not=0)$

% 求める軌跡は，楕円 $2$\displaystyle (x-1)^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ただし，原点を除く
% ここまで誤り

% ここから訂正版
これより， $2$m$ を消去して， $2$\displaystyle (X-1)^{2}+Y^{2}=1(X\not=0)$

求める軌跡は，円 $2$\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1$ ただし，原点を除く
% ここまで訂正版

これでよろしいですか？ > 質問者 & 賢者のみなさま

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■36692 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 座標平面上の直線

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□投稿者/ DANDY　U 一般人(22回)-(2008/11/06(Thu) 09:52:43)

2008/11/06(Thu) 10:01:06 編集(投稿者)

> 2点A,Bを直線の両端とする円
これも・・・2点A,Bを「直径」の両端とする円・・・なのでしょうか？
そうだとして、回答します。

切り取られる線分の長さが６となるｍ＞0である直線と円の交点の第一象限の点をＰ、
円の中心(2,0)（Ｑとします）からＯＰに下ろした垂線をＱＨとします。

[Ⅱの別解] ＰＱ＝√10、ＨＰ＝3 よりＨＱ＝1
またＯＱ＝2 であるから、∠ＨＯＱ＝30°
ｍ＝tan30°＝1/√3＝√3/3
ｍ＜0 のときも同様に考えると、結局「－√3/3≦ｍ≦√3/3」が答えとなります。

[Ⅲの解法]
ｍがいくらのときでも ∠ＯＨＱ＝90°だから、切り取られる線分の中点Ｍ（＝Ｈ）は
線分ＯＱを直径とする円周上にあります。
したがって軌跡の式は　(ｘ－1)^2＋ｙ^2＝1　となります。

（Ⅲは、初心者@頭の中は夏休みさんの答えと異なっています）

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■36693 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 座標平面上の直線

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(18回)-(2008/11/06(Thu) 12:45:44)

うわ，計算ミスってました
元の投稿も編集しておきます。

○：
$2$\displaystyle X=\frac{2}{m^{2}+1},Y=\frac{2m}{m^{2}+1}$ より，

$2$(X-1)^{2}+Y^{2}=1$

×：
$2$\displaystyle X=\frac{2}{m^{2}+1},Y=\frac{2m}{m^{2}+1}$ より，

$2$\displaystyle (X-1)^{2}+\frac{Y^{2}}{4}=1$

ここ最近（だけに限った話ではないですが）の計算ミスの多さにはわれながら閉口してしまいます･･･orz
頭の中の夏休み，いつ終わるんだろう

> DANDY U さま
ご指摘ありがとうございました

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