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■36674 / inTopicNo.1)  証明問題
  
□投稿者/ ゆき 一般人(4回)-(2008/11/05(Wed) 18:38:20)
    ε-δ法を用いて、lim(x→3) x^(2)=9を証明せよ。
    という問題です。

    どなたか分かる方、宜しくお願いします。
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■36675 / inTopicNo.2)  Re[1]: 証明問題
□投稿者/ hari 一般人(4回)-(2008/11/05(Wed) 20:01:40)
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■36682 / inTopicNo.3)  Re[2]: 証明問題
□投稿者/ ゆき 一般人(5回)-(2008/11/05(Wed) 22:30:28)
    lx^(2)-9l=lx+3llx-3lまでは分かったのですが、この先がいまいちよく分からないです;
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■36691 / inTopicNo.4)  Re[3]: 証明問題
□投稿者/ hari 一般人(6回)-(2008/11/06(Thu) 08:34:36)
    No36682に返信(ゆきさんの記事)
    > lx^(2)-9l=lx+3llx-3lまでは分かったのですが、この先がいまいちよく分からないです;

    |x - 3|<δとしたら|x + 3| = |x - 3 + 6|≦ |x - 3| + 6 <δ + 6です。
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■36697 / inTopicNo.5)  Re[4]: 証明問題
□投稿者/ ゆき 一般人(6回)-(2008/11/06(Thu) 23:45:12)
    質問なのですが、|x - 3 + 6|の6という数字はどこからでてきたのでしょうか?;

    あとちょっとこの問題と似た問題で、
    lim(x→2) (x^(2)+x+1)=7をε-δ法で示せという問題があるのですが、
    この場合は、
    l(x^(2)+x+1)-7)=l(x-2)(x+3)l=lx+3llx-2l
    となって、xが2に近づくとき、小さくできるものとそうでないものに分けて考えますよね?

    でその後に、
    0<lx-2l<1 ⇒lx+3l≦6
    とでてきたのですが、どこからlx-2lが0から1の範囲ということと、lx+3lが6以下というのが分かったのでしょうか?

    たぶんここが理解できればこの問題も分かると思うのですが・・・

    質問多くてすみません;
    宜しくお願いします。
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■36698 / inTopicNo.6)  Re[5]: 証明問題
□投稿者/ miyup 大御所(645回)-(2008/11/07(Fri) 08:38:46)
    No36697に返信(ゆきさんの記事)
    > 0<lx-2l<1 ⇒lx+3l≦6
    > とでてきたのですが、どこからlx-2lが0から1の範囲ということと、lx+3lが6以下というのが分かったのでしょうか?

    常に |x+y|≦|x|+|y| が成り立つことを利用します。
    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
    |x+3|=|(x-2)+5|≦|x-2|+|5|=|x-2|+5 より
     0<lx-2l<1
     5<lx-2l+5<6
    よって
     |x+3|≦lx-2l+5<6 → ≦6 にかえてよい
    ∴|x+3|≦6
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■36706 / inTopicNo.7)  Re[6]: 証明問題
□投稿者/ ゆき 一般人(8回)-(2008/11/08(Sat) 21:47:28)
    なるほど・・・なんとなく理解できました。

    もう1度考えて証明してみたのですが、これであっているでしょうか?

    lx^(2)-9l=lx+3llx-3l

    0<lx-3l<1 ⇒ lx+3l≦7

    より、
    0<lx-3l<1 ⇒ lx^(2)-9l≦7lx-3l

    さらに、
    0<lx-3l<ε/7 ⇒ 7lx-3l<ε

    ここで、δ=min(1,ε/7)と定める。

    0<lx-3l<δ
    ⇒ 0<lx-3l<1 かつ 0<lx-3l<ε/7

    ⇒ lx^(2)-9l<ε

    宜しくお願いします。

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