数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 方程式 / Page: 0]

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■36618 / inTopicNo.1)

　方程式

□投稿者/ 数学勉強者一般人(24回)-(2008/11/02(Sun) 01:17:34)

f(x)=(x^2+x+2)^99の右辺を展開した式を
a(0)+a(1)x+・・・+a(198)x^198とする。このとき、
∑［k=0→66］a(3k)を求めよ。

とりあえず、x^2+x+1=0の虚数解をωとし
f(ω)=1まで求めてみたのですが、計算で分からなくなってしまいました。
ちなみに、この答って相当大きくなることが予想されるのですが・・・
定数項だけで、2^99ですからね…（汗）

よろしくご指導願います。

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■36619 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 方程式

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□投稿者/ だるまにおん一般人(2回)-(2008/11/02(Sun) 01:27:26)

同様に f(ω^2), f(1) を考えてみれば良いと思います。

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■36626 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 方程式

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□投稿者/ 数学勉強者一般人(25回)-(2008/11/02(Sun) 16:58:09)

とりあえず、と書いたように
正しい数学的理解に基づいての記述ではないので、
だるまにおんさん、もう少し、その「考え方」
について詳しく教えてくれませんか!?

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■36627 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 方程式

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(11回)-(2008/11/02(Sun) 17:34:02)

> だるまにおんさま

感動しました。

> 数学勉強者さま

答えを書くのは簡単ですが，それだと感動は味わえないかと思いますので，横からヒントをば。

$2$\omega^{3}=?,\;\omega^{2}+\omega+1=?$

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■36656 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 方程式

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(13回)-(2008/11/04(Tue) 06:35:11)

一応答えだけ。誤謬があればご指摘を。

$2$\omega^{2}+\omega+1=0$ より， $2$f(\omega)=(\omega^{2}+\omega+2)^{99}=1^{99}=1$
よって， $2$f(\omega)=a_{0}+a_{1}\omega+a_{2}\omega^{2}+a_{3}\omega^{3}+\cdots+a_{196}\omega^{196}+a_{197}\omega^{197}+a_{198}\omega^{198}=1$

ここで， $2$\omega^{3}=1$ を用いれば， $2$(a_{0}+a_{3}+\cdots+a_{198})+(a_{1}+a_{4}+\cdots+a_{196})\omega+(a_{2}+a_{5}+\cdots+a_{197})\omega^{2}=1$

簡便のため，以下

$2$a_{0}+a_{3}+\cdots+a_{198}=A,a_{1}+a_{4}+\cdots+a_{196}=B,a_{2}+a_{5}+\cdots+a_{197}=C$

を用いると，先の式は，

$2$f(\omega)=A+B\omega+C\omega^{2}\;\cdots(1)$

となる。同様に，

$2$f(\omega^{2})=(\omega^{4}+\omega^{2}+2)^{99}=(\omega+\omega^{2}+2)^{99}=1$

よって， $2$f(\omega^{2})=A+B\omega^{2}+C\omega=1\;\cdots(2)$

また， $2$f(1)=(1^{2}+1+2)^{99}=4^{99}$

よって， $2$f(1)=A+B+C=4^{99}\;\cdots(3)$

3式の辺々加えると，
$2$f(\omega^{2})+f(\omega)+f(1)=3A+B(\underline{\omega^{2}+\omega+1})+C(\underline{\omega^{2}+\omega+1})=3A=4^{99}+2$

したがって，
$2$\displaystyle \sum_{k=0}^{66}a_{3k}=A=\frac{4^{99}+2}{3}$

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