数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 合同式の問題 / Page: 0]

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■36613 / inTopicNo.1)

　合同式の問題

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□投稿者/ まゆ一般人(3回)-(2008/11/01(Sat) 14:44:35)

次の合同式、

x^(5)+(x)+1≡0mod7

を解け。

という問題なのですが、どなたか分かる方いますか？
宜しくお願いします。

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■36614 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 合同式の問題

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(8回)-(2008/11/01(Sat) 18:37:22)

2008/11/02(Sun) 17:58:41 編集(投稿者)
2008/11/02(Sun) 03:00:23 編集(投稿者)
2008/11/01(Sat) 18:38:52 編集(投稿者)

$2$x^{5}+x+1\equiv{0}(\textrm{mod}7)$
ということでしたら，解けました。

以下，7を法として場合わけして考える。

$2$x\equiv{0}$ のときは明らかに不適

$2$x\equiv{1}$ のとき， $2$x^{5}+x+1\equiv{3}$ となり，不適

$2$x\equiv{2}$ のとき， $2$x^{5}+x+1\equiv{35}\equiv{0}$ となり，適

$2$x\equiv{3}$ のとき， $2$x^{5}+x+1\equiv{247}\equiv{2}$ となり，不適

$2$x\equiv{4}$ のとき， $2$x^{5}+x+1\equiv{1029}\equiv{0}$ となり，適

$2$x\equiv{5}$ のとき， $2$x^{5}+x+1\equiv{3131}\equiv{2}$ となり，不適

$2$x\equiv{6}$ のとき， $2$x^{5}+x+1\equiv{7783}\equiv{6}$ となり，不適

以上より， $2$x\equiv{2}$ または $2$x\equiv{4}$ が解かと思われます。

個人的に合同式リベンジ。あってるかな？

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■36616 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 合同式の問題

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□投稿者/ まゆ一般人(4回)-(2008/11/01(Sat) 22:02:29)

あ、全部代入していけばいいんですね！

質問なのですが、例えばx≡3のときの
x^(5)+x+1≡247≡2の最後の2は、247を7で割った余りですか？

宜しくお願いします。

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■36620 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 合同式の問題

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(9回)-(2008/11/02(Sun) 02:57:37)

2008/11/02(Sun) 03:07:00 編集(投稿者)

> x^(5)+x+1≡247≡2の最後の2は、247を7で割った余りですか？

そうです。合同式ですから。

$2$\textrm{mod}7$ なので，場合分けしたら手っ取り早いかと思いました。もっとスマートな解法が示せればよかったのですが(^-^;

$2$x\equiv{0},\pm{1},\pm{2},\pm{3}$ で場合分けするのもありかと思われます。その方が数が小さくて済むので。

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■36623 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 合同式の問題

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□投稿者/ サボテン大御所(311回)-(2008/11/02(Sun) 09:32:44)

ご参考までに別解を

フェルマーの小定理により、
x^6≡1(mod 7) (x≡0の場合を除く)
です。
よって、x^5+x+1≡x^(-1)+x+1≡0(mod 7)
と変形でき
さらに、
x^2+x+1≡0 (mod 7)
x≡1はこの式を満たさないので、x-1を両辺にかけて
x^3≡1 (mod 7)

x≡0,x≡1の場合は除外して、x≡-3,x≡-2,x≡-1,x≡2,x≡3の場合を
調べればよいことになります。
結果は、初心者@頭の中は夏休みさんと同じです。

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■36624 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 合同式の問題

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□投稿者/ まゆ一般人(5回)-(2008/11/02(Sun) 11:15:24)

初心者@頭の中は夏休みさん、サボテンさんありがとうございます。
フェルマーの小定理というのでも解けるんですねぇ！
まだその定理を使って解く問題はやっていないので、参考になりました。

ありがとうございました＾＾

解決済み!

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■36628 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 合同式の問題

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□投稿者/ まゆ一般人(6回)-(2008/11/02(Sun) 17:39:19)