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■36541 / inTopicNo.1)

　直交する接線の傾き

□投稿者/ ゆう一般人(28回)-(2008/10/27(Mon) 20:11:47)

$2$f(x)=x^3-\frac{5}{3}x$ をＣとし、Ｃ上の点Ｐ $2$(t,f(t))$ における接線は点Ｐ以外の点Ｑと交わる。
このとき、点ＰとＱにおけるＣ上の接線が直交するような $2$t$ の値を求めよ。

という問題で、
点Ｐにおける接線の傾き $2$3t^2-\frac{5}{3}$
と
点Ｑにおける接線の傾き $2$3(-2t)^2-\frac{5}{3}$
の積が $2$-1$ ということを利用しましたが、

その積をまとめると
$2$36t^4-25t^2+\frac{34}{9}=0$ ・・・Ａ
という式になって、

$2$t^2=p(p>0)$ として2次方程式にして解の公式を使ったのですが、もう少し計算を楽にする方法はないのでしょうか？

答えは $2$t=$ ± $2$\frac{\sqrt{17}}{6}$ 、± $2$\frac{\sqrt2}{3}$ と記載があり、確かにＡは成立するので、Ａが間違っているわけではなさそうですが。

どなたかご回答よろしくお願いします。

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■36546 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 直交する接線の傾き

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□投稿者/ X 大御所(302回)-(2008/10/27(Mon) 22:49:26)

2008/10/27(Mon) 22:53:10 編集(投稿者)

t=±(√17)/6,±(√2)/3
ですので、(A)でt^2=pと置いた場合のpの二次方程式の解は
p=17/36,2/9 (B)
これから逆に(A)は
(36p-17)(9p-2)=0 (A)'
と変形できなければなりません。
問題は元の方程式
35p^2-34p+34/9=0 (A)"
を(A)'に変形する難度ですが、(A)"の定数項の分母を払って
315p^2-306p+34=0
上式の左辺について
i)定数項34は
34=17×2
つまり素因数2個のみで構成されている偶数であること
ii)p^2の係数が奇数、pの係数が偶数であること
この二つに注目すれば、たすきがけはそんなに難しくないと思います。

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■36547 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 直交する接線の傾き

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□投稿者/ miyup 大御所(625回)-(2008/10/27(Mon) 22:52:52)

2008/10/27(Mon) 22:55:49 編集(投稿者)

点Ｑのｘ座標が -2t と出るまでが勝負だと思いますので
傾きの積＝-1 以降はそのままの流れだと思います。
複２次方程式は
解の公式または因数分解で解けばいいですね。

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■36552 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 直交する接線の傾き

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□投稿者/ . 一般人(5回)-(2008/10/28(Tue) 07:52:04)

■No36547に返信(miyupさんの記事)
> 2008/10/27(Mon) 22:55:49 編集(投稿者)
>
> 点Ｑのｘ座標が -2t と出る
どうしたら-2tがでますか

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■36553 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 直交する接線の傾き

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□投稿者/ miyup 大御所(626回)-(2008/10/28(Tue) 08:21:14)

■No36552に返信(.さんの記事)
>>点Ｑのｘ座標が -2t と出る
> どうしたら-2tがでますか

P(t,f(t)),Q(s,f(s)) について直線PQの傾き＝f'(t) より
　(f(s)-f(t))/(s-t)＝f'(t)
を解けば
　s＝-2t
が出ます。

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■36554 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 直交する接線の傾き

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□投稿者/ . 一般人(6回)-(2008/10/28(Tue) 08:42:02)

■No36553に返信(miyupさんの記事)
> ■No36552に返信(.さんの記事)
> >>点Ｑのｘ座標が -2t と出る
>>どうしたら-2tがでますか
>
> P(t,f(t)),Q(s,f(s)) について直線PQの傾き＝f'(t) より
> 　(f(s)-f(t))/(s-t)＝f'(t)
> を解けば
> 　s＝-2t
> が出ます。

ありがとうございました。
PolynomialQuotient[x^3 - (5*x)/3 - (-((5*t)/3) + t^3 + (-(5/3) + 3*t^2)*
(-t + x)), (x - t)^2, x]=2*t + x
からも得ました。

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■36555 / inTopicNo.7)

　（削除）

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□投稿者/ -(2008/10/28(Tue) 10:18:35)

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■36556 / inTopicNo.8)

　（削除）

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□投稿者/ -(2008/10/28(Tue) 10:56:34)

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