 | 2008/10/26(Sun) 23:31:52 編集(投稿者)
■No36524に返信(すぅさんの記事)
> 自然数nに対して、a[n]=2^n+3^n+1 とおくとき、
> ①a[n+6]-a[n]は7で割り切れることを示せ
a[n+6]-a[n]
＝2^(n+6) + 3^(n+6) + 1 - (2^n + 3^n +1)
＝(2^6-1)・2^n + (3^6-1)・3^n
＝63・2^n + 728・3^n
＝7(9・2^n + 104・3^n)
よって
a[n+6]-a[n]は7で割り切れる。
注
①：a[n+6]-a[n]は7で割り切れる
→周期６で余りが一致する（余り 6, 0, 1, 0, 3, 3, 以降繰り返し）
ということ。
> ②nが6の倍数のとき、a[n]は7で割り切れないことを示せ
a[1]＝6、a[2]＝14、a[3]＝36、a[4]＝98、a[5]＝276、a[6]＝794
を７で割った余りはそれぞれ 6, 0, 1, 0, 3, 3。
a[6]は７で割り切れないので
①より n が６の倍数のとき、a[n]は７で割り切れない。
> ③a[n]が7で割り切れるためのnの条件を求めよ
a[2]、a[4]が７で割り切れるので
a[n]が７で割り切れるための n の条件は
①より n＝2+6k, 4+6k (k＝0,1,2,3,…)。
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