 | 先に．
＞ 早稲田のひと
質問の意図が読めないなら，回答は金輪際するな．
「解ける」のと「質問に答えられる」のは全く違う．
言い換えると「わかっている」のと「わかってもらう」のは全然違う．
その解答で「わかってもらえる」とでも思っているのなら，解答するのはやめとけ．
しかも，大嘘かいてるしな．t≦3≦t+1のときはどうなる？思い切り抜けているのだが．
では，本題です．質問者の方はお目汚し失礼．
> グラフがf(x)=(x-3)^2+3t^2-5tとなり、頂点が(3,3t^2-5t)となりました。
> どのように場合わけをしたらよいでしょうか。
> 解説にはx=t+1/2が解き方のポイントだとあるのですが、いまいち意味が
> 分かりません。
ここまではよいですね．
さて，2次関数の（区間における）最大値，というのはどこになるでしょうか．
ここはグラフを書いて考えてみるとよいです．
（この問題に限らず，「関数」の問題では「グラフ」を使うと見やすくなることが多いです）
適当に放物線を書いて見ましょう．頂点のｘ座標は3と決まっています．ｙ座標はわからないので，いっそy軸は書かなくてもいいです．
ただ，最大値を考える区間がtで決まっているので，いろいろ動きます．
次の4つの場合を考えてみてください．
１）頂点が，区間t≦x≦t+1より右側に外れている場合
２）頂点が，区間t≦x≦t+1より左側に外れている場合
３）頂点が，区間t≦x≦t+1の中にあるが，x=tの方に近い場合
４）頂点が，区間t≦x≦t+1の中にあるが，x=t+1の方に近い場合
細かく分けましたが，これらを検討してみるとヒント
＞ x=t+1/2
の意味が見えてくるかもしれません．
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