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■3636 / inTopicNo.1) 　角度の問題
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□投稿者/ roto7 一般人(5回)-(2005/09/04(Sun) 01:08:01)
    【問題】a>b>0とする。y軸上に2点A(0,a)、B(0,b)をとり、点Pがx軸の正の部分を動くとき、∠APBを最大にするPの位置を求めよ。

    答えは、x=√(ab)
    ヒント（かな？）に、余弦定理によりcosθ=(x^2+ab)/√{(x^2+a^2)(x^2+b^2)} と書いてあります。

    解き方がよくわかりません。
    わかる方、よろしくお願いします！m(＿)m


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■3638 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 角度の問題
□投稿者/ だるまにおん ベテラン(201回)-(2005/09/04(Sun) 01:36:26)
    ∠APB=θとおくと、θが最大のとき、cosθは(明らかに鋭角なので)最小になります。
    ヒントの式よりcosθはxの関数なので、微分してcosθの最小値を求めようぜってことです。
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■3648 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 角度の問題
□投稿者/ roto7 一般人(8回)-(2005/09/04(Sun) 15:40:11)
    まず、(x^2+a^2)(x^2+b^2)=pとおいて、微分すると、
    cosθ'={2x√p-(x^2+ab)/2√p}/p
    でいいんですよね？？ここからどうやればいいのでしょうか？
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■3649 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 角度の問題
□投稿者/ ＫＧ 軍団(113回)-(2005/09/04(Sun) 16:08:10)
    2005/09/04(Sun) 16:10:19 編集(投稿者)

    わかりにくいかもしれませんが，微分するよりはいいと思います．

    　　∠ＡＰＢが最大
    　　　　⇔　cosθ＝(ｘ^2＋ａｂ)/√｛(ｘ^2＋ａ^2)(ｘ^2＋ｂ^2)｝ が最小
    　　　　⇔　√｛(ｘ^2＋ａｂ)^2/(ｘ^2＋ａ^2)(ｘ^2＋ｂ^2)｝ が最小　　←根号の中に全て入れました
    　　　　⇔　(ｘ^2＋ａｂ)^2/(ｘ^2＋ａ^2)(ｘ^2＋ｂ^2) が最小　　←根号の中だけ考えます　
    　　　　⇔　１−｛(ａ−ｂ)^2ｘ^2｝/｛ｘ^4＋(ａ^2＋ｂ^2)ｘ^2＋ａ^2ｂ^2｝ が最小　　←分母分子を展開し分子の次数を下げました
    　　　　⇔　｛(ａ−ｂ)^2ｘ^2｝/｛ｘ^4＋(ａ^2＋ｂ^2)ｘ^2＋ａ^2ｂ^2｝ が最大
    　　　　⇔　(ａ−ｂ)^2/｛ｘ^2＋(ａ^2＋ｂ^2)＋(ａ^2ｂ^2)/ｘ^2｝が最大　　←分母分子をｘ^2 で割りました
    　　　　⇔　ｘ^2＋(ａ^2＋ｂ^2)＋(ａ^2ｂ^2)/ｘ^2 が最小
    　　　　⇔　ｘ^2＋(ａ^2ｂ^2)/ｘ^2 が最小　　← (ａ^2＋ｂ^2) は定数だから無視
    で，ｘ^2 は正ですから，相加・相乗平均の関係から，
    　　　　ｘ^2＋(ａ^2ｂ^2)/ｘ^2≧２√(ａ^2ｂ^2)＝２√ａｂ
    等号成立は，
    　　　　ｘ^2＝(ａ^2ｂ^2)/ｘ^2　⇔　ｘ＝√(ａｂ)
    のときです．
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■3651 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 角度の問題
□投稿者/ roto7 一般人(9回)-(2005/09/04(Sun) 16:48:57)
    KGさん、ご返信ありがとうございます。KGさんの説明で求め方は理解できました。
    ですが、この問題は微分法のところで出た問題なので、微分を利用しないで解いてもいいのでしょうか？？
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■3652 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 角度の問題
□投稿者/ ＫＧ 軍団(114回)-(2005/09/04(Sun) 17:05:49)
    では，
    　　(ｘ^2＋ａｂ)/√｛(ｘ^2＋ａ^2)(ｘ^2＋ｂ^2)｝
    を微分しましょう．
    　　｛２ｘ√ｐ−(ｘ^2＋ａｂ)(４ｘ^3＋２ａ^2ｘ＋２ｂ^2ｘ)/２√ｐ｝/ｐ　　←ここ注意ですね
    　　　　　＝｛２ｘｐ−(ｘ^2＋ａｂ)(２ｘ^3＋ａ^2ｘ＋ｂ^2ｘ)｝/√(ｐ^3)
    (分母)＞０ですから，分子だけ考えます．
    　　(分子)＝ｘ｛２ｐ−(ｘ^2＋ａｂ)(２ｘ^2＋ａ^2＋ｂ^2)｝
    　　　　　＝ｘ｛２(ｘ^2＋ａ^2)(ｘ^2＋ｂ^2)−(ｘ^2＋ａｂ)(２ｘ^2＋ａ^2＋ｂ^2)｝
    　　　　　＝ｘ｛(ａ−ｂ)^2ｘ^2−ａｂ(ａ−ｂ)^2｝
    　　　　　＝(ａ−ｂ)^2・ｘ(ｘ^2−ａｂ)
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■3663 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 角度の問題
□投稿者/ 豆 大御所(272回)-(2005/09/04(Sun) 21:52:46)
    ちょっと横から･･･
    √が入らないので、余弦定理より、正接の加法定理が見やすいかも…
    tanθ=tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
    =(a/x-b/x)/(1+(a/x)(b/x))＝(a-b)x/(x^2+ab)
    dtanθ/dx=(a-b)(ab-x^2)

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■3668 / inTopicNo.8) 　Re[7]: 角度の問題
□投稿者/ roto7 一般人(12回)-(2005/09/04(Sun) 23:41:35)
    みなさん、わかりやすい説明で解いてくださってありがとうございます！
    参考にさせていただきます。
解決済み!
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