 | (1)
f(x) = ax^2+bx+cとすると、f(1) = -3より-3 = a+b+c・・・・・(A)
f(2) = 6 = 4a+2b+c・・・・・(B)
f'(x) = 2ax+b, g(x) = x^3+dxとすると、g'(x) = 3x^2+d。
f(2) = 6 = g(2) = 8+2d・・・・・(C)
f'(2) = g'(2) = 4a+b = 12+d・・・・・(D)
(C)より、d = -1
(D)より、4a+b = 12-1 = 11 ⇒ b = 11-4a・・・・・(E)
(A)(E)より、c = -3-a-b = -3-a-(11-4a) = -14+3a・・・・・(F)
(B)(E)(F)より、6 = 4a+2(11-4a)+(-14+3a) = -a+8 ⇒ a = 2
(E)(F)より、b = 11-4*2 = 3, c = -14+3a = -8
(2)
f(x) = x^2, g(x) = (x-2)^2 = x^2-4x+4とおくと、f'(x) = 2x, g'(x) = 2x-4
# y = f(x)及びy = g(x)にはx = 定数(y軸に平行な直線)という接線はありません。
# 任意の実数xに対して接線は有限の傾きを持ち、y = ax+bという形に表せます。
y = f(x) = x^2上の点(p,p^2)における接線は、
y-p^2 = f'(p)(x-p) = 2p*(x-p) ⇒ y = 2px-p^2・・・・・(A)
y = g(x) = x^2-4x+4上の点(q,q^2-4q+4)における接線は、
y-(q^2-4q+4) = g'(q)(x-q) = (2q-4)*(x-q) ⇒ y = (2q-4)x+(4-q^2)・・・・・(B)
(A)(B)が同一の直線であるためには、2p = 2q-4・・・・・(C)
かつ、-p^2 = 4-q^2・・・・・(D)
であれば良いです。
(C)より、q = p+2・・・・・(E)
(D)(E)より、-p^2 = 4-(p+2)^2 = 4-p^2-4p-4 ⇒ p = 0, q = 0+2 = 2
よって共通接線はy = 0となります。
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