数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[11]: 証明 / Page: 0]

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■36299 / inTopicNo.1)

　証明

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□投稿者/ さくら一般人(1回)-(2008/10/14(Tue) 21:50:21)

lim(n→∞) n/(2n+1)=1/2を、ε-N法で証明せよ。
という問題です。

どなたか、宜しくお願いします；

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■36306 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明

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□投稿者/ miyup 大御所(596回)-(2008/10/15(Wed) 00:21:23)

■No36299に返信(さくらさんの記事)
> lim(n→∞) n/(2n+1)=1/2を、ε-N法で証明せよ。

|n/(2n+1)-1/2|＝|-1/{2(2n+1)}|＝1/{2(2n+1)}＜ε
とおくと
n＞1/(4ε)-1/2
より
任意のε＞0 に対して N＞1/(4ε)-1/2 なる自然数 N が存在して
n≧N ならば |n/(2n+1)-1/2|＜ε
となる。
よって
lim(n→∞) n/(2n+1)=1/2
である。

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■36315 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 証明

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□投稿者/ さくら一般人(2回)-(2008/10/15(Wed) 20:32:08)

ありがとうございます！

最初の、
|n/(2n+1)-1/2|＝|-1/{2(2n+1)}|＝1/{2(2n+1)}＜ε
とおくと
というところまでは分かったのですが、

n＞1/(4ε)-1/2
この式の1/(4ε)-1/2というのはどうやってでてきたんですか？

宜しくお願いします。

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■36316 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 証明

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□投稿者/ miyup 大御所(597回)-(2008/10/15(Wed) 20:54:01)

■No36315に返信(さくらさんの記事)
> 最初の、
> |n/(2n+1)-1/2|＝|-1/{2(2n+1)}|＝1/{2(2n+1)}＜ε
> とおくと
> というところまでは分かったのですが、
>
> n＞1/(4ε)-1/2
> この式の1/(4ε)-1/2というのはどうやってでてきたんですか？

1/{2(2n+1)}＜ε を変形すれば n＞1/(4ε)-1/2 となります。

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■36319 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 証明

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□投稿者/ さくら一般人(3回)-(2008/10/15(Wed) 21:18:54)

1/{2(2n+1)}＜εをどのように変形すればいいのでしょうか？；
考えてたんですけど、分からないです；

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■36320 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 証明

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□投稿者/ miyup 大御所(599回)-(2008/10/15(Wed) 21:26:42)

■No36319に返信(さくらさんの記事)
> 1/{2(2n+1)}＜εをどのように変形すればいいのでしょうか？；
1/{2(2n+1)}＜ε
⇔1/(2ε)＜2n+1
⇔1/(2ε)-1＜2n
⇔1/(4ε)-1/2＜n

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■36323 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 証明

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□投稿者/ さくら一般人(4回)-(2008/10/15(Wed) 23:00:21)

1/{2(2n+1)}＜ε
⇔1/(2ε)＜2n+1
という式は、1/{2(2n+1)}＜εの両辺に(2n+1)/εをかけたんですか？

あと、
⇔1/(ε)-1＜2n
の式から
⇔1/(4ε)-1/2＜n
の式になったのは、1/2{1/(ε)-1}＜1/2(2n)と両辺に1/2をかけたんですか？
だとしたら1/(4ε)の4εっていうのはどのようにでてきたんでしょうか；

宜しくお願いします。

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■36324 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 証明

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□投稿者/ miyup 大御所(601回)-(2008/10/15(Wed) 23:09:35)

■No36323に返信(さくらさんの記事)
> 1/{2(2n+1)}＜ε
> ⇔1/(2ε)＜2n+1
> という式は、1/{2(2n+1)}＜εの両辺に(2n+1)/εをかけたんですか？
そうです
> ⇔1/(ε)-1＜2n
⇔1/(2ε)-1＜2n
> の式から
> ⇔1/(4ε)-1/2＜n
> の式になったのは、1/2{1/(ε)-1}＜1/2(2n)と両辺に1/2をかけたんですか？
の式になったのは、1/2{1/(2ε)-1}＜1/2(2n)と両辺に1/2をかけたんですか？
そうです
> だとしたら1/(4ε)の4εっていうのはどのようにでてきたんでしょうか；
わかりませんか？

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■36325 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 証明

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□投稿者/ さくら一般人(5回)-(2008/10/15(Wed) 23:30:21)

すみません、式を見間違えていました；
ちゃんと理解できました！
ありがとうございました＾＾

解決済み!

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■36415 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 証明

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□投稿者/ さくら一般人(9回)-(2008/10/19(Sun) 19:01:53)

今更なんですが、

1/{2(2n+1)}＜ε
⇔1/(2ε)＜2n+1
⇔1/(2ε)-1＜2n
⇔1/(4ε)-1/2＜n

という式の中で、

1/{2(2n+1)}＜ε
⇔1/(2ε)＜2n+1
って両辺に(2n+1)/εをかけたものじゃないですか？

どうして(2n+1)/εをかけないといけないのでしょうか？
2/εとか2(2n+1)/εとかじゃﾀﾞﾒなんですか？

宜しくお願いします。

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■36416 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 証明

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□投稿者/ miyup 大御所(612回)-(2008/10/19(Sun) 19:07:28)

2008/10/19(Sun) 19:12:24 編集(投稿者)

■No36415に返信(さくらさんの記事)
> 1/{2(2n+1)}＜ε
> ⇔1/(2ε)＜2n+1
> って両辺に(2n+1)/εをかけたものじゃないですか？
>
> どうして(2n+1)/εをかけないといけないのでしょうか？
> 2/εとか2(2n+1)/εとかじゃﾀﾞﾒなんですか？

？？？
n についての不等式を解きたいのではないですか？

方程式でも不等式でも同じですが
例えば
　1/{2(2n+1)}＝ε
から
　n＝
を求めたい場合、あなたは次に何をするんですか？

どうしてもわからないのであれば、次のようにすることもできます。
1/{2(2n+1)}＜ε
両辺正より逆数を取って
2(2n+1)＞1/ε
2n+1＞1/(2ε)
2n＞1/(2ε) -1
n＞1/(4ε) -1/2

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■36417 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 証明

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□投稿者/ さくら一般人(10回)-(2008/10/19(Sun) 20:21:32)

あー・・・そうですよね；

すみません。
ありがとうございました。

解決済み!

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