数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 格子点 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■36228 / inTopicNo.1)

　格子点

□投稿者/ tomoko 一般人(3回)-(2008/10/09(Thu) 09:59:04)

「y≧x/2, y≦2x, y≦-x+30を満たすxy平面上の領域において、x座標もy座標も整数である点の個数S_{30}を求めよ」という問題で私は以下のように考えました。どこが間違っているのか教えて下さい。

　∑[k=0→9](3k/2+1)+16+∑[k=11→20](-3k/2+31)
という式を立てました。もちろん、kが奇数だと格子点にはならないので、kが偶数のみを当てはめてみたのですが、答えが合いません。よろしくお願いします。
ちなみに答えは、166個です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■36230 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 格子点

▲▼■

□投稿者/ サボテン大御所(299回)-(2008/10/09(Thu) 14:36:35)

y=x/2上においてkが奇数の時、(k,k/2)となる点は1/2個として便宜上カウントに入れます。

すると点の総数は
∑[k=0→10](3k/2+1)+∑[k=11→20](-3k/2+31)
=11 + 31 * 10 - 3/2 * 10 * 10 = 171

あとは0<k<20における奇数のkの個数を引いて
171-10/2=166

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■36238 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 格子点

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(449回)-(2008/10/09(Thu) 20:33:07)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

(学校では使えない参考別解)
三角形の面積は 400-100-100-50=150
辺上の格子点の個数は 10+10+10=30
よってピックの定理により、格子点の総数は
150+30/2+1=166個

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■36297 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 格子点

▲▼■

□投稿者/ tomoko 一般人(4回)-(2008/10/14(Tue) 16:48:39)

■No36238に返信(らすかるさんの記事)
> (学校では使えない参考別解)
> 三角形の面積は 400-100-100-50=150
> 辺上の格子点の個数は 10+10+10=30
> よってピックの定理により、格子点の総数は
> 150+30/2+1=166個

ありがとうございました。
こんな定理もあるんですね。
ちなみにピックの定理をネットで調べて見たのですが、
頂点が格子点にある多角形の面積Ｓは

「その多角形の内部の格子の数Ｉと、辺の格子の数Ｂにより
　Ｓ＝Ｉ＋Ｂ/2-1
と表わされる」
と書いてありました。この公式に適用するとS=150, B=30なので、Iを求めるとI=164となってしまいます。どこがおかしいのですか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■36298 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 格子点

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(454回)-(2008/10/14(Tue) 17:26:02)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

150=I+30/2-1
I=150-30/2+1=150-15+1=136
格子点の総数は I+B=136+30=166 です。

元々、求めるものは I ではなく I+B ですから、
S=I+B/2-1 の両辺にB/2+1 を足して S+B/2+1=I+B
上の回答ではこれで S+B/2+1=150+30/2+1=166 と求めました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■36307 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 格子点

▲▼■

□投稿者/ tomoko 一般人(5回)-(2008/10/15(Wed) 08:13:24)

■No36298に返信(らすかるさんの記事)
> 150=I+30/2-1
> I=150-30/2+1=150-15+1=136
> 格子点の総数は I+B=136+30=166 です。
>
> 元々、求めるものは I ではなく I+B ですから、
> S=I+B/2-1 の両辺にB/2+1 を足して S+B/2+1=I+B
> 上の回答ではこれで S+B/2+1=150+30/2+1=166 と求めました。

そうでした・・・ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター