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■36097 / inTopicNo.1) 　数列
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□投稿者/ sumika 一般人(10回)-(2008/10/01(Wed) 23:14:13)
    よろしくお願いします。

    nは自然数、bとcは実数とする。
    数列{a[n]}が漸化式a[n+1]=a[n]+(b^n)+(c^n)を満たすとき
    一般項a[n]をa[0],b,c,nを用いて表せ。

    解き方を教えてください。
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■36098 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 数列
□投稿者/ miyup 大御所(565回)-(2008/10/01(Wed) 23:20:19)
    2008/10/01(Wed) 23:28:57 編集(投稿者)

    ■No36097に返信(sumikaさんの記事)
    > nは自然数、bとcは実数とする。
    > 数列{a[n]}が漸化式a[n+1]=a[n]+(b^n)+(c^n)を満たすとき
    > 一般項a[n]をa[0],b,c,nを用いて表せ。

    階差型の漸化式より
    b≠1 かつ c≠1 のとき
    　n≧1 で
    　a[n]＝a[0] + Σ[k=0,n-1](b^k+c^k)
    　　　＝a[0] + (1-b^n)/(1-b) + (1-c^n)/(1-c)　（これはn＝0でも成り立つ）
    b＝1 かつ c≠1 のとき
    　n≧1 で
    　a[n]＝a[0] + Σ[k=0,n-1](1+c^k)
    　　　＝a[0] + n + (1-c^n)/(1-c)　（これはn＝0でも成り立つ）
    b≠1 かつ c＝1 のとき
    　n≧1 で
    　a[n]＝a[0] + Σ[k=0,n-1](b^k+1)
    　　　＝a[0] + (1-b^n)/(1-b) + n　（これはn＝0でも成り立つ）
    b＝1 かつ c＝1 のとき
    　n≧1 で
    　a[n]＝a[0] + Σ[k=0,n-1](1+1)
    　　　＝a[0] + 2n　（これはn＝0でも成り立つ）

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■36137 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 数列
□投稿者/ sumika 一般人(11回)-(2008/10/04(Sat) 07:08:07)
    miyupさんご指導ありがとうございます。

    もう少し詳しく聞きたいのですが、(1-b^n)/(1-b) = Σ[k=0→n-1](b^k)
    ということだと理解したのですが、b = 0の場合も成り立つのでしょうか。

    0^0というのがいくつになるのか分かりませんでした。
    それともb = 0やc = 0も場合分けした方が良いということでしょうか。
    (0^0が計算できないでb = 0またはc = 0の場合は答え無しとか。)

    よろしくお願いします。
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■36142 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 数列
□投稿者/ miyup 大御所(571回)-(2008/10/04(Sat) 14:11:00)
    2008/10/04(Sat) 14:23:52 編集(投稿者)

    a[n+1]=a[n]+(b^n)+(c^n) について

    1)　b≠0,c≠0 のとき a[n+1]=a[n]+(b^n)+(c^n)
    　1a)　b≠1,c≠1 のとき　a[n]＝a[0] + (1-b^n)/(1-b) + (1-c^n)/(1-c)
    　1b)　b≠1,c＝1 のとき　a[n]＝a[0] + (1-b^n)/(1-b) + n
    　1c)　b＝1,c≠1 のとき　a[n]＝a[0] + n + (1-c^n)/(1-c)
    　1d)　b＝1,c＝1 のとき　a[n]＝a[0] + 2n
    2)　b≠0,c＝0 のとき a[n+1]=a[n]+(b^n)
    　2a)　b≠1 のとき　a[n]＝a[0] + (1-b^n)/(1-b)
    　2b)　b＝1 のとき　a[n]＝a[0] + n
    3)　b＝0,c≠0 のとき a[n+1]=a[n]+(c^n)
    　3a)　c≠1 のとき　a[n]＝a[0] + (1-c^n)/(1-c)
    　3b)　c＝1 のとき　a[n]＝a[0] + n
    4)　b＝0,c＝0 のとき a[n+1]=a[n]=a[0]

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■36157 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 数列
□投稿者/ sumika 一般人(13回)-(2008/10/05(Sun) 17:49:43)
    miyupさんご指導ありがとうございます。

    b≠0,c≠0 のときは理解できました。
    でもb=0またはc=0のときはまだ理解できていません。

    漸化式a[n+1]=a[n]+(b^n)+(c^n)でn=0として良いのかどうかも分かりません。
    (nは自然数で、0は自然数ではないので)
    もしn=0とすると、a[1]=a[0]+(b^0)+(c^0)となってb=0またはc=0のとき
    0^0という計算が分かりません。

    miyupさんの解説でb＝0,c≠0 のとき a[n+1]=a[n]+(c^n)となっていますが、
    これはn=0の場合を除いていますよね。
    この問題の漸化式の場合n=0は考えなくても良いということでしょうか。
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■36163 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 数列
□投稿者/ miyup 大御所(572回)-(2008/10/05(Sun) 19:49:42)
    2008/10/05(Sun) 23:05:47 編集(投稿者)

    ■No36157に返信(sumikaさんの記事)
    > 漸化式a[n+1]=a[n]+(b^n)+(c^n)でn=0として良いのかどうかも分かりません。
    > (nは自然数で、0は自然数ではないので)

    一般項a[n]をa[0],b,c,nを用いて表せとありましたが、a[1]の間違いということはありませんか？

    > もしn=0とすると、a[1]=a[0]+(b^0)+(c^0)となってb=0またはc=0のとき
    > 0^0という計算が分かりません。

    先に b,c の値を設定(場合分け)してから n=0 とするのではないですか？

    > miyupさんの解説でb＝0,c≠0 のとき a[n+1]=a[n]+(c^n)となっていますが、
    > これはn=0の場合を除いていますよね。

    一応除いていません。c≠0 のときですから。


    なんとなく問題の方がおかしい気がしますが。
    （n=0 を許すのならば、b も c も 0 でないことを前提にすべきだと思います）
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■36212 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 数列
□投稿者/ sumika 一般人(17回)-(2008/10/08(Wed) 19:36:10)
    miyupさんご指導ありがとうございます。

    やはり問題がおかしいですよね。
    そう思っていたのですが、自分の理解不足かもしれないとも思って質問しました。
    出題者の先生に聞いてみて、また疑問点があったら再度質問させて頂きます。
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