 | 2008/10/01(Wed) 21:44:56 編集(投稿者)
■No36087に返信(すき焼きさんの記事)
> 座標平面に２点A(1,0,1),B(0,1,1)がある。平面z=0に含まれる円x^2+y^2=1上を点Ｐが動くとき、三角形ABPの面積Ｓの最小値を求めよ。
P(x,y,0)とおくと、x^2+y^2＝1…①
↑PA＝(1-x,-y,1),↑PB＝(-x,1-y,1) より
Ｓ＝1/2・√{|↑PA|^2|↑PB|^2-(↑PA・↑PB)^2} ←①を適用しつつ計算
＝1/2・√{(3-2x)(3-2y)-(2-x-y)^2}
＝1/2・√{2xy-2(x+y)+4}
ここで①より
(x+y)^2＝1+2xy すなわち 2xy=(x+y)^2-1 から
Ｓ＝1/2・√{(x+y)^2-2(x+y)+3}
＝1/2・√{(x+y-1)^2+2}
≧1/2・√2
等号成立は、x+y＝1 すなわち (x,y,z)＝(1,0,0),(0,1,0) のときである
以上より、Ｓの最小値は√2/2
図から考えても、AB(＝√2) を底辺と見れば
点P が 点A または 点B の「真下」にあるとき
△PAB の高さが最小(＝1)になって、最小値Ｓ＝√2/2 となります。
|
