数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 分類 / Page: 0]

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■36070 / inTopicNo.1)

　分類

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□投稿者/ 充一般人(1回)-(2008/10/01(Wed) 10:32:42)

宜しくお願い致します。
(1)x^2 + (y - a)^2 =1, y =x^2の共有点の個数の分類をせよ。
(2)x^2 + (y - a)^2 =1, y =x^4の共有点の個数の分類をせよ。

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■36148 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 分類

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□投稿者/ 人一般人(5回)-(2008/10/05(Sun) 00:14:11)

式変形のみで解こうとするならば、 $2$x$ または $2$y$ を消去した方程式を作り、
方程式の解の個数を調べればよいでしょう。

ただそれだと2番がやや解きにくいので、やはり題意に沿って図示します。
中心 $2$(0,a)$ 半径1の円と、曲線 $2$y=x^4$ の共有点の個数を考える。
曲線 $2$y=x^4$ は原点を頂点とする、下に凸の放物線ですから、共有点の個数は最大で４個。

この円と放物線は、 $2$y$ 軸について対称な図形であるから、
・離れているか
・放物線の頂点（＝原点）で接するか･･･円は放物線より下にある
・2点で交わるか（接するか）
・2点で交わり、頂点（＝原点）で接しているか＝3点共有するか
・4点で交わるか
の5通りしかないと考えられる。

この5通りの状況をすべて図示してみて、そのときに $2$a$ の満たすべき条件を考えればできますね。

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