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■36003 / inTopicNo.1) 　ベクトル
  ▼■
□投稿者/ 数学勉強者 一般人(5回)-(2008/09/28(Sun) 19:05:40)
    方針はわかっており、計算さえできれば・・・という問題です。しかし、何度見直しても答がでません（任意？という結論に）

    問.空間にA(-1,1,1),B(-1,2,2),C(1,2,0)がある。yz平面の点PをベクトルAPがベクトルABとベクトルACに垂直になるようにとる。このときPを頂点とし、A,B,Cを通る円を底面とする円錐の体積を求めよ。

    円錐の底面（円）の中心をH(a,b,c)とし、三角形ABCの外接円の性質を使って3本の連立方程式を立てて求めようとしました。ちなみにＰ(0,0,2)と求めることはできました。

    できれば計算過程を詳しく教えてください。お願いします

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■36004 / inTopicNo.2) 　Re[1]: ベクトル
□投稿者/ pupil 一般人(2回)-(2008/09/28(Sun) 19:54:38)
    AB=(0,1,1)
    AC=(2,1,-1)
    P=(0,x,y)
    とすれば、
    AB.AP=0
    AC.AP=0
    P=(0,0,2)
    AP=(1,-1,1)
    平面ABC
    x-y+z+1=0
    平面ABCとPの距離=｜AP|=√3

    A,B,Cを通る円を
    (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2
    a-b+c+1=0
    とすれば、
    a=0,b=2,c=1,r^2=2
    底面の面積　2π
    体積
    2√3π/3

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■36008 / inTopicNo.3) 　Re[1]: ベクトル
□投稿者/ 数学勉強者 一般人(6回)-(2008/09/28(Sun) 23:34:48)
    ちなみに、自分の方針では解けないものなのでしょうか…
    具体的にいいますと
    AH=BH=CHと2点間の距離の公式を用いて解く
    というものです。

    お願いします_(_^_)_
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■36011 / inTopicNo.4) 　Re[1]: ベクトル
□投稿者/ X 大御所(292回)-(2008/09/29(Mon) 09:59:23)
    2008/09/29(Mon) 10:09:09 編集(投稿者)

    横から失礼します。
    数学勉強者さんの方針で解くなら、条件式は
    AH=BH=CH
    だけでは足りません。
    これだけではHの座標の成分３つに対し方程式は２つとなり、
    数学勉強者さんの計算通りHの座標は一点に定まりません。
    (図形的にはこの場合、点Hは△ABCの外接円の中心を通る
    A,B,Cを含む平面に垂直な直線の上の任意の点、になってしまいます。)
    点HがA,B,Cを含む平面、つまり
    x-y+z+1=0
    の上にあることからもうひとつ方程式を立てましょう。

    後一点、老婆心ですが。
    ＞＞ベクトルAPがベクトルABとベクトルACに垂直
    ですのでこの円錐は頂点の真下が底面の円の中心になっていない、
    ひしゃげた円錐になっていることに注意しましょう。
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■36013 / inTopicNo.5) 　Re[2]: ベクトル
□投稿者/ pupil 一般人(3回)-(2008/09/29(Mon) 13:23:27)
    (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2に
    A(-1,1,1),B(-1,2,2),C(1,2,0)
    を代入すれば
    A:(a+1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=r^2 ①
    B:(a+1)^2+(b-2)^2+(c-2)^2=r^2　②
    C:(a-1)^2+(b-2)^2+c^2=r^2　　　③
    引き算してr^2(とｘ、ｙ、ｚの2乗）を消去した
    ①-②:b+c-3=0
    ②-③:a-c+1=0
    ③-①:2a+b-c-1=0
    は、
    AとBの中点を通りABに垂直な平面
    BとCの中点を通りABに垂直な平面
    CとAの中点を通りABに垂直な平面
    一方、距離の式で、
    AH=BH　2点間の距離の公式を用いて解くと
    AH^2=BH^2
    (a+1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=(a+1)^2+(b-2)^2+(c-2)^2 →①-②
    となり、
    Aの式と同じ。
    BH=CH　→②-③
    CH=AH　→③-①
    も同様。
    で、同じこと。
    a-b+c+1=0
    と連立して解けば、おなじ答えになる。
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