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■35984 / inTopicNo.1) 　無理数
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□投稿者/ ロボ 一般人(17回)-(2008/09/27(Sat) 12:55:20)
    nを自然数として、p[1], p[2], ・・・・・・p[n]を相異なる自然数の素数、
    a[1], a[2], ・・・・・・a[n]を有理数とします。
    但しa[1], a[2], ・・・・・・a[n]の全てが0ということはないものとします。
    z = Σ[k=1,n](a[k]*√p[k])とするとzは無理数であるといえるのでしょうか?
    n = 1, 2, 3の場合は証明できましたが、n > 3の場合を教えてください。
    よろしくお願い致します。
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■35985 / inTopicNo.2) 　り
□投稿者/ 早稲田志望 一般人(5回)-(2008/09/27(Sat) 16:43:46)
    背理法を用いれば、すぐです。

    (携帯)
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■35997 / inTopicNo.3) 　Re[2]: り
□投稿者/ ロボ 一般人(18回)-(2008/09/28(Sun) 15:45:31)
    早稲田志望さん、お返事ありがとうございます。

    個々のnについては背理法で示すものと思いますが、n > 3の場合にも通用する
    方法が思いつきませんでした。どのようにすれば良いでしょうか？

    自分が考えた方法は以下の通りです。
    ----------------------------------------------------------------------
    (1)n = 1
    bを有理数としてa[1]*√p[1] = bだったと仮定します。
    有理数×無理数 = 有理数は矛盾なので、bは無理数です。

    (2)n = 2
    bを有理数として(a[1]*√p[1])+(a[2]*√p[2]) = bだったと仮定します。
    両辺を平方すると以下のようになります。
    (a[1]^2)*p[1]+2(a[1]*√p[1])(a[2]*√p[2])+(a[2]^2)*p[2] = b^2

    有理数であるものを右辺に移項して以下のようになります。
    (2*a[1]*a[2])*√(p[1]*p[2]) = b^2-(a[1]^2)*p[1]-(a[2]^2)*p[2]

    以下n = 1の場合と同じです。

    (3)n = 3
    bを有理数として(a[1]*√p[1])+(a[2]*√p[2])+(a[3]*√p[3]) = bだったと仮定します。

    変形して以下のようになります。
    (a[1]*√p[1])+(a[2]*√p[2]) = b-(a[3]*√p[3])

    両辺を平方すると以下のようになります。
    (a[1]^2)*p[1]+2(a[1]*√p[1])(a[2]*√p[2])+(a[2]^2)*p[2] = b^2-2b*a[3]*√p[3]+(a[3]^2)*p[3]

    有理数であるものを右辺に、無理数であるものを左辺に移項して以下のようになります。
    (2*a[1]*a[2])*√(p[1]*p[2])+(2b*a[3])*√p[3] = b^2+(a[3]^2)*p[3]-(a[1]^2)*p[1]-(a[2]^2)*p[2]

    以下n = 2の場合と同じです。
    ----------------------------------------------------------------------

    この方法は適当に移項して両辺を平方することで、無理数である項の数が減っていき
    より小さい場合のnの証明に帰着するというものです。
    しかしn = 4以上や一般nの場合を証明で行き詰ってしまいました。
    ご教示ください。
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■36010 / inTopicNo.4) 　り
□投稿者/ 早稲田志望 一般人(6回)-(2008/09/29(Mon) 00:59:00)
    N=１のときが証明できたのなら、自然数の集合より数学的帰納法より 将棋倒しに１〜ｎまで真と示すことができます。

    (携帯)
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■36012 / inTopicNo.5) 　Re[2]: り
□投稿者/ sol 一般人(1回)-(2008/09/29(Mon) 13:19:53)
    ええと。とりあえず早稲田志望さんの答案をきちんと書いてもらおう。
    ＃まさか「無理数の和は無理数だから」なんていうつもりじゃないだろうね？
    ＃帰納法を使おうとしているあたりで非常に怪しいのだけれど。
    ＃「無理数の和は無理数｣という命題は真ではありません。念のため。
    ＃センター試験で出ているレベルの簡易な反例がある。
    ＃そもそも「数学の解答には著しく不向きだろうと思われる携帯からの投稿で解答しよう」と思っている段階で・・・はぁ。

    元の問題に翻ってみると，結局「互いに相異なる素因数を持つ平方根の和は有理数か無理数か」という問題に帰着できますが，これは未解決問題だったように思います。
    別の掲示板で恐縮ですが，下記もご参照ください．
    http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender2&dd=19&re=34670
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■36016 / inTopicNo.6) 　Re[3]: り
□投稿者/ ロボ 一般人(19回)-(2008/09/29(Mon) 17:43:33)
    solさん、お返事ありがとうございます。

    > 元の問題に翻ってみると，結局「互いに相異なる素因数を持つ平方根の和は有理数か無理数か」
    > という問題に帰着できますが，これは未解決問題だったように思います。

    「互いに相異なる素因数を持つ平方根の和は有理数か無理数か」という問題をAとします。
    自分が質問した問題をBとします。

    (1)Bも未解決でしょうか？
    (2)Aが真ならばBも真だと思いますが、逆にBが真ならばAも真だといえるのでしょうか？
    (3)A,Bについての情報が掲載されているポームページまたは書籍等ご存知でしたら教えてください。

    よろしくお願いいたします。
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■36021 / inTopicNo.7) 　トンデモ警報
□投稿者/ 慶應志望 一般人(1回)-(2008/09/29(Mon) 22:02:59)
    早稲田志望は有名なトンデモ回答者です。

    (携帯)
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■36024 / inTopicNo.8) 　Re[4]: り
□投稿者/ sol 一般人(3回)-(2008/09/29(Mon) 22:30:03)
    ちょっと前の回答に語弊はありましたが・・・
    　＃以後、知識レベルとしては高校レベルを超える内容となります。

    実数体Rは有理数体Q上の無限次元ベクトル空間とみなすことができる、という事実があります。
    そして、この場合ベクトル空間の次元は非可算無限（連続体濃度）であることも知られています。
    さて、このベクトル空間の基底の一部として、｛√ｐ｜ｐ：素数｝という集合を取れます。（ここで、「√ｐは他の素数の平方根の一次結合で表されない」ことは既知とします）
    すると、結局題意は「一般に（非可算）無限次元ベクトル空間上のある有理数が、高々可算個（特に有限個）の基底の一次結合で表されるか」ということになりますが、これはおそらく未解決です。

    線形代数の１テーマとして、これだけで１冊本が書けるような問題になりますので、Webで参考文献を見つけることは難しいと思います（海外まで手を広げればあるのかもしれませんが・・・）線形代数の本には載っているものもそこそこあるかと思います（が、今参照できるものがないのでごめんなさい、具体的な書名を示すことが出来ません）。
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■36128 / inTopicNo.9) 　Re[5]: り
□投稿者/ ロボ 一般人(21回)-(2008/10/03(Fri) 22:35:09)
    solさん、情報ありがとうございます。
    お礼が遅くなってしまいごめんなさい。

    >（ここで、「√ｐは他の素数の平方根の一次結合で表されない」ことは既知とします）

    「√ｐは他の素数の平方根の一次結合で表されない」を命題Cとします。

    命題Cが偽なら、自然数のある素数pについて、√ｐが他の素数の平方根の一次結合で表されるものが存在する。
    すなわちz = Σ[k=1,n](a[k]*√p[k])でzが有理数になることがあるといえます。

    命題Cを「既知」とするということは、命題Cは真であることが証明されているということでしょうか?
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■36131 / inTopicNo.10) 　？
□投稿者/ 早稲田志望 一般人(8回)-(2008/10/04(Sat) 00:32:28)
    いつ有名になりましたか？

    (携帯)
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■36133 / inTopicNo.11) 　Re[3]: ？
□投稿者/ ajo 一般人(2回)-(2008/10/04(Sat) 00:38:35)
    早稲田志望さん、とりあえず解答かいてくださいな。
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■36204 / inTopicNo.12) 　Re[4]: ？
□投稿者/ sol 一般人(7回)-(2008/10/08(Wed) 16:34:40)
    ＞早稲田
    あんたはとりあえず，俺の問に答えような．
    解法がきちんと（妥当な形で）説明できないなら，解答は今後すべきではない．
    誤りを認めないなら，やはり解答は今後すべきではない．
    　＃そういう姿勢が「トンデモ」と呼ばれるのだ．

    ＞本論
    とりあえず，すでに掲示板でフォローできる内容を超えている，ということです．
    前にも書きましたが，初等的な線形代数論の１テーマとして１冊本が書けるようなものですから・・・是非，書籍の方でみていただければよいかと思います．
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