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＜解法1.1＞恒等式変形を用いる
P(x)=(x-2)^2*(x-3)*Q(x)+ax^2+bx+c という式から、
ax^2+bx+cを(x-2)^2で割り、
P(x)=(x-2)^2*(x-3)*Q(x)+a(x-2)^2+(b+4a)x+c-4a
=(x-2)^2*{(x-3)*Q(x)+a}+(b+4a)x+c-4a と変形すると、
P(x)を(x-2)^2で割った余りが3x-5であることから、
xについての恒等式と見なして
b+4a=3,c-4a=-5という式を立てることができます。
後は計算すれば答えが出ます。
＜解法1.2＞
先ほどの解法では、文字を含む割り算をした後に恒等式変形をしたりと
かなり面倒くさいことになりますが、
この方法では割と楽になります。
まず、文字の置き方が変わります。
P(x)を(x-2)^2で割った余りが3x-5なので、
P(x)=(x-2)^2*{(x-3)Q(x)+d}+3x-5 とおくと
P(x)=(x-2)^2*(x-3)*Q(x)+dx^2+(-4d+3)x+4d-5 となります。
あとはP(3)=6とから、
P(3)=9d+3(-4d+3)+4d-5=6 として d=2
よって P(x)=(x-2)^2*(x-3)*Q(x)+2x^2-5x+3
＜解法２＞微分を用いる
とりあえず、4a+2b+c=1、 9a+3b+c=6まで求めたとします。
ここで、P(x)=(x-2)^2*(x-3)Q(x)+ax^2+bx+c=(x-2)^2*R(x)+3x-5とします（・・・＊１）
（ つまり、P(x)を(x-2)^2で割った商をR(x)とします ）
そして、＊１の式の両辺をｘで微分します。
P'(x)=(x-2)[{(x-3)*Q'(x)+Q(x)}*(x-2)+2(x-3)Q(x)]+2ax+b=(x-2){2R(x)+(x-2)*R'(x)}+3
ここでx=2のとき、
(x-2)が因数として存在する項が全て消えるので
4a+b=3となります。後は先ほどの２式とから答えが出ます。
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