 | I = ∫[0→π/2]{sin(x)/(1+sin(x))}dxとおきます。
t = tan(x/2)とおくと、
sin(x) = 2*sin(x/2)*cos(x/2) = 2*tan(x/2)*(cos(x/2))^2 = 2t/(1+t^2)
# (sin(x/2))^2+(cos(x/2))^2 = 1より、両辺を(cos(x/2))^2で割って、
# {(sin(x/2))^2}/{(cos(x/2))^2}+1 = (tan(x/2))^2+1 = t^2+1 = 1/{(cos(x/2))^2}
# よって、(cos(x/2))^2 = 1/(1+t^2)
dt = {(tan(x/2))^2+1}*(1/2)dx ⇒ {2/(1+t^2)}dt = dx
tの積分範囲は[tan(0/2)→tan((π/2)/2)] = [0→1]です。
I = ∫[0→1]{(2t/(1+t^2))/(1+2t/(1+t^2))*2/(1+t^2)}dt
= ∫[0→1]{4t/{(1+t^2)((1+t^2)+2t)}}dt
= ∫[0→1]{4t/{(1+t^2)(1+t)^2}}dt
4t/{(1+t^2)(1+t)^2}を部分分数に分解します。A,B,C,Dを定数として、
4t/{(1+t^2)(1+t)^2} = (At+B)/(1+t^2)+C/(1+t)+D/{(1+t)^2}とおきます。
4t = (At+B){(1+t)^2}+C*(1+t)(1+t^2)+D*(1+t^2)
= (At+B)(1+2t+t^2)+C*(1+t+t^2+t^3)+(D+Dt^2)
= (B+(A+2B)t+(2A+B)t^2+At^3)+(C+Ct+Ct^2+Ct^3)+(D+Dt^2)
= (B+C+D)+(A+2B+C)t+(2A+B+C+D)t^2+(A+C)t^3
tの係数を比較して、
B+C+D = 0・・・・・(1)
A+2B+C = 4・・・・・(2)
2A+B+C+D = 0・・・・・(3)
A+C = 0・・・・・(4)
(3)-(1)より、(2A+B+C+D)-(B+C+D) = 2A = 0-0 ⇒ A = 0
(4)より、C = -A = 0
(2)より、2B = 4-A-C = 4-0-0 = 4 ⇒ B = 2
(1)より、D = -B-C = -2-0 = -2
よって、4t/{(1+t^2)(1+t)^2} = 2/(1+t^2)-2/{(1+t)^2}
I = ∫[0→1]{2/(1+t^2)-2/{(1+t)^2}}dt
= 2∫[0→1]{1/(1+t^2)}dt-2∫[0→1]{1/{(1+t)^2}}dt
J = ∫[0→1]{1/(1+t^2)}dt, K = ∫[0→1]{1/{(1+t)^2}}dtとおいて、
別々に計算しI = 2J-2Kを求めます。
(ア)Jの計算
t = tan(u)とおくと、dt = {(tan(u))^2+1}du ⇒ du = {1/(1+t^2)}dt
[0→1] = [tan(0)→tan(π/4)]より、uの積分範囲は[0→π/4]です。
J = ∫[0→π/4]du = [u]_[0→π/4] = π/4
(イ)Kの計算
# 置換積分するまでもないかもしれませんが。
1+t = vとおくと、dt = dvで、vの積分範囲は[1+0→1+1] = [1→2]です。
K = ∫[1→2](1/v^2)dv = [-1/v]_[1→2] = (-1/2)-(-1/1) = 1/2
以上から、I = 2*(π/4)-2*(1/2) = π/2-1
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