数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / [訂正]　Re[2]: 証明問題 / Page: 0]

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■35797 / inTopicNo.1)

　証明問題

□投稿者/ すき焼き一般人(8回)-(2008/09/18(Thu) 22:07:58)

x+y+z=3, (x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0のとき、x,y,zのうち少なくとも
１つは１に等しいことを示せ。

この問題です。

結論は(x-1)(y-1)(z-1)=0だと思いますが、式変形がわからないので教えてください。

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■35801 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明問題

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□投稿者/ らすかる大御所(434回)-(2008/09/18(Thu) 22:31:42)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

x-1=X, y-1=Y, z-1=Z と置き換えると、問題は
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=3（つまりX+Y+Z=0）, X^3+Y^3+Z^3=0 のとき、
X,Y,Zのうち少なくとも1つは0に等しいことを示せ。
に変わります。すると
XYZ=〔(X^3+Y^3+Z^3)-(X+Y+Z){(X+Y+Z)^2-3(XY+YZ+ZX)}〕/3=0 です。

置き換えずに書くと
(x-1)(y-1)(z-1)=〔{(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3}
　-(x+y+z-3){(x+y+z-3)^2-3{(x-1)(y-1)+(y-1)(z-1)+(z-1)(x-1)}}〕/3
となりますが、この式を直接導くのは大変そうですね。

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■35802 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 証明問題

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□投稿者/ すき焼き一般人(10回)-(2008/09/18(Thu) 22:40:02)

発想を変えるんですね。
どうもありがとうございました。

解決済み!

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■35803 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 証明問題

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□投稿者/ WIZ 大御所(278回)-(2008/09/18(Thu) 23:58:14)

# 解決済みのスレに発言するのもなんですが・・・。

x+y+z = 3より、z-1 = 2-x-yです。

0 = (x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3
= (x-1)^3+(y-1)^3+(2-x-y)^3
= (x-1)^3+(y-1)^3+{(1-x)+(1-y)}^3
= (x-1)^3+(y-1)^3+{(1-x)^3+3(1-x)^2*(1-y)+3(1-x)(1-y)^2+(1-y)^3}

ここで、(1-x)^3 = -(x-1)^3, (1-y)^3 = -(y-1)^3です。
よって、
0 = 3(1-x)^2*(1-y)+3(1-x)(1-y)^2
= 3(1-x)(1-y)(1-x+1-y)
= 3(1-x)(1-y)(1-z)
となりますね。

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■35804 / inTopicNo.5)

　[訂正]　Re[2]: 証明問題

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□投稿者/ WIZ 大御所(279回)-(2008/09/19(Fri) 00:02:14)

間違いがありましたので訂正します。申し訳ありませんでした。

> = 3(1-x)(1-y)(1-z)

= 3(1-x)(1-y)(z-1)でした。

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