 | x^2-{(1/n)-1}x-(1/n) = x^2+x-(1/n)(x+1) = (x-1/n)(x+1)と因数分解できます。
つまり、f[n](x) = x^2-{(1/n)-1}x-(1/n)とおくと、f[n](1/n) = 0, f[n](-1) = 0です。
P(x)をxの整式として、g[n](x) = x^(2n)-P(x)*f[n](x) = a[n]*x+b[n]とおけます。
g[n](1/n) = (1/n)^(2n) = a[n]*(1/n)+b[n]
g[n](-1) = (-1)^(2n) = 1 = a[n]*(-1)+b[n] = -a[n]+b[n]
上記をa[n],b[n]の連立方程式と見れば、
(1/n)*a[n]+b[n] = (1/n)^(2n)・・・・・(1)
-a[n]+b[n] = 1・・・・・(2)
(1)-(2)より、(1/n+1)*a[n] = (1/n)^(2n)-1 ⇒ a[n] = {(1/n)^(2n)-1}/(1/n+1)
(2)より、b[n] = 1+a[n] = 1+{(1/n)^(2n)-1}/(1/n+1) = {(1/n)^(2n)+1/n}/(1/n+1)
hariさんへ
「解決済み!」かどうかは質問者のすき焼きさんが決めることではないのですか?
早稲田志望さんへ
> ユークリッドの互除法より
> [x^(2n)，x^2-{(1/n)-1}x-(1/n)］＝［x^2-{(1/n)-1}x-(1/n)，anx+bn］
上記は間違っています。題意より、[x^(2n), x^2-{(1/n)-1}x-(1/n)] = [a[n]*x+b[n]]です。
> 分母と分子の係数を比較して、an＝x-(1/n)+1
xの整式を、xの整式で割った係数を議論しているので、a[n]がxを含む式になるのは変ですね。
|
