 | ■No35777に返信(ともさんの記事)
> ４次方程式
> (x^2+2x+a)(x^2+ax+2)=0
> が異なる４つの実数解をもつような定数aの値の範囲を求めよ。
> (x^2+2x+a)=0 …(1)から
> D/4=1-a>0
> a<1
> (x^2+ax+2)=0 …(2)から
> D=a^2-8>0
> a<-2√2、2√2<a
以上より、a<-2√2 である。
次に
(1)(2)が共通解αを持つとき
(1)よりα^2+2α+a=0
(2)よりα^2+aα+2=0
片々引いてまとめると
(α-1)(2-a)=0 すなわち α=1 または a=2
a=2 のとき(1)(2)とも同じ式になり、異なる４つの実数解をもたない。
α=1 のとき(1)(2)より a=-3 で、やはり異なる４つの実数解をもたない。
以上より、a≠2 かつ a≠-3 である。
というわけで
a<-3、-3<a<-2√2
となる。
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