 | (1)
三角形の内角の和はπなので、sin(B+C) = sin(π-A) = sin(A)
4*sin(A)*sin(A) = 1 ⇒ (sin(A))^2 = 1/4 ⇒ sin(A) = ±1/2
0 < A < πで、sin(A) > 0なので、sin(A) = 1/2
(2)
外接円の半径をRとすると、正弦定理よりa/sin(A) = 2R
R = 3, sin(A) = 1/2なので、a = 2*3*(1/2) = 3
(3)
cos(A) = ±√(1-(sin(A))^2) = ±√(1-(1/2)^2) = ±(√3)/2
Aは鋭角より、0 < A < π/2で、cos(A) > 0なので、cos(A) = (√3)/2
余弦定理より、a^2 = b^2+c^2-2bc*cos(A) = b^2+c^2-2bc*((√3)/2) = b^2+c^2-(√3)bc
⇒ 3^2 = 9 = b^2+c^2-(√3)bc・・・(ア)
a+b+c = 10より、b+c = 10-a = 10-3 = 7
⇒ (b+c)^2 = b^2+2bc+c^2 = 7^2 = 49
⇒ b^2+c^2 = 49-2bc・・・(イ)
(ア)に(イ)を代入すると、9 = (49-2bc)-(√3)bc
⇒ (2+√3)bc = 49-9 = 40
⇒ bc = 40/(2+√3) = 40(2-√3)/(2^2-(√3)^2) = 40(2-√3)
△ABCの面積 = (1/2)bc*sin(A) = (1/2)*40(2-√3)*(1/2) = 10(2-√3)
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