 | (1)
f(x) = ax*(1-x)より、g(x) = f(f(x)) = a*f(x)*(1-f(x))
g(x)-x = a*f(x)*(1-f(x))-x = a*f(x)*(1-f(x))-x = a*f(x)-a*(f(x))^2-x
= {a*(f(x)-x)}+{a*x^2-a*(f(x))^2}-(x-ax+a*x^2)
= a*{f(x)-x}+a{x+f(x)}{x-f(x)}-(x-f(x))
= (a-a{x+f(x)}-1)(f(x)-x)
以上から、g(x)-xはf(x)-xを因数に持ちます。
(2)
(x-1)^2 = x^2-2x+1 = 4x^2-4x+a
⇒ 3x^2-2x+(a-1) = 0
⇒ xが実数より、判別式 ≧ 0で、2^2-4*3*(a-1) = 4-12a+12 = 4(4-3a) ≧ 0
⇒ 4/3 ≧ a, x = (2±√(4(4-3a)))/6 = (1±√(4-3a))/3
(3)
a^2-x^2 > (3x-a)^2 = 9x^2-6ax+a^2
⇒ 0 > 10x^2-6ax = 2x*(5x-3a)
2x*(5x-3a) < 0となるのは、{2x < 0かつ5x-3a > 0}または{2x > 0かつ5x-3a < 0}のときです。
a > 0の場合0 < x < 3a/5、a < 0の場合3a/5 < x < 0となります。
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