 | 曲線y=a(x^3 -x)とこの曲線と相異なる6点で交わる原点を中心とする円が存在するためのaの範囲を求めよ。
自分は、円をx^2 +y^2 =r^2 とおき、曲線の方程式へ代入
(a^2)*x^6 -2(a^2)*x^4 +(a^2 +1)x^2=r^2…①
∴(a^2)*x^6 -2(a^2)*x^4 +(a^2 +1)x^2 -r^2=0
ここで、x^2 =X>0…② とおくと、
(a^2)*X^3 -2(a^2)*X^2 +(a^2 +1)X -r^2=0
となり、これがX>0の範囲において解を3つもつ。と考えたのですが、計算が複雑になり、出来ませんでした。
解答は、①・②より、y=(a^2)*X^3 -2(a^2)*X^2 +(a^2 +1)X…③ y=r^2 とし、
③が極大値・極小値をもつと考え、a<-√3 ,√3<a
となっていたのですが、なぜ極値をもつからといって、6点で交わるといえるのでしょうか。おしえてください。
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