数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: -1の何乗になるか / Page: 0]

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■35641 / inTopicNo.1)

　-1の何乗になるか

□投稿者/ 青紫一般人(1回)-(2008/09/11(Thu) 01:53:55)

【質問】
(1)pを3以上の素数、iを虚数単位とするとき、
i^p=i・(-1)^(p-1)/2
となることを説明しなさい。

(2)nを整数とするとき、
cosnπ=(-1)^n
となることを説明しなさい。

どうやって考えればいいのか全然わかりませんでした。この問題の解き方を教えてください。お願いします。

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■35643 / inTopicNo.2)

　Re[1]: -1の何乗になるか

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(15回)-(2008/09/11(Thu) 09:35:16)

2008/09/11(Thu) 12:24:39 編集(投稿者)

場合分けで解きます。

以上解き方の説明でした。不十分であれば以下に詳細を書きますのでご参考までに。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

(2)は $2$k$ を整数として，
$2$\cos {2k\pi}=1,\cos {(2k-1)\pi}=-1$ より明らか。

(1)は $2$i^{4k+l}=i^{l}(l=0,1,2,3)$ を利用して，
4を法として， $2$p\equiv{1}$ のときと $2$p\equiv{3}$ に分けて考えれば，

$2$p\equiv{1}$ のとき，
(左辺) $2$=i^{p}=i^{4k+1}=i^{1}=i$
(右辺) $2$=i\cdot{}(-1)^{\frac{p-1}{2}}=i\cdot{}(-1)^{2k}=i$

$2$p\equiv{3}$ のとき，
(左辺) $2$=i^{p}=i^{4k+3}=i^{3}=-i$
(右辺) $2$=i\cdot{}(-1)^{\frac{p-1}{2}}=i\cdot{}(-1)^{2k+1}=-i$

もちろん3以上の素数は全て奇数なので $2$p\equiv{0}$ やら $2$p\equiv{2}$ はありえませんね。

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■35649 / inTopicNo.3)

　Re[2]: -1の何乗になるか

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□投稿者/ 青紫一般人(2回)-(2008/09/11(Thu) 15:34:36)

投稿者さんへ
投稿ありがとうございました。でもすみませんが読んでてまったく理解できないです・・・・・。

(2)では明らか～とされていますが、どうしてそうなるのかをお聞きしたいです。

(1)では「4を法として」とか「≡」とかみたことのない表現を使われていますが、私は数学がかなり苦手なので、難しい記号はできれば使わないでほしいです。やっていらっしゃることはやっぱりわかりませんでした。

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■35650 / inTopicNo.4)

　Re[3]: -1の何乗になるか

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(17回)-(2008/09/11(Thu) 17:12:26)

(2)
$2$\cos {n\pi}$ は
$2$n$ が奇数( $2$n=1,3,5$ など)のとき $2$-1$
$2$n$ が偶数( $2$n=0,2,4$ など)のとき $2$1$

$2$(-1)^{n}$ も
$2$n$ が奇数( $2$n=1,3,5$ など)のとき $2$-1$
$2$n$ が偶数( $2$n=0,2,4$ など)のとき $2$1$

になります。

したがって， $2$n$ がどんな整数であっても $2$\cos {n\pi}=(-1)^{n}$ が成り立ちます。

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■35651 / inTopicNo.5)

　Re[4]: -1の何乗になるか

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(19回)-(2008/09/11(Thu) 17:25:01)

2008/09/11(Thu) 18:19:25 編集(投稿者)

(1)
4を法として $2$p\equiv{3}$ ってのは， $2$p$ を4で割った余りが3という意味なんですが，教科書にはないかもしれないので使わずにいきます。

まず， $2$i^{1},i^{2}i^{3},\cdots$ について考察します。
$2$i^{1}=i,i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,i^{5}=i,i^{6}=-1,\cdots$

つまり， $2$i^{n}$ は $2$n$ がどんな整数であっても $2$1,i,-1,-i$ の4パターンしかないことがわかります。
そこでこの「4」という数字に着目し，以下の4で割った余りによる整数の分類に話が進んでいきます。

整数を4で割った余りは，0(割り切れる),1,2,3の4通りしかありません。

さらに， $2$p$ は3以上の素数ですから，当然奇数で，4で割った余りは1か3になるはずです。

したがって，
$2$p=4k+1$ のとき(4で割った余りが1のとき･上では $2$p\equiv{1}$ と書いてある)
と
$2$p=4k+3$ のとき(4で割った余りが3のとき･上では $2$p\equiv{3}$ と書いてある)
とに分けて考えればよいことになります。

以下は先のレスにあるとおりです。

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■35665 / inTopicNo.6)

　Re[5]: -1の何乗になるか

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□投稿者/ 青紫一般人(3回)-(2008/09/12(Fri) 01:07:28)

投稿者さんへ
またの投稿ありがとうございました。

ちょっと質問の仕方が悪かったのですが、たとえば(2)で、i^p=i・(-1)^(p-1)/2の右辺の(p-1)/2はどうやって見つけたのかをお聞きしたかったんです。証明の仕方自体はなんとなくわかっていたのですが、右辺のnや(p-1)/2がなんでそうなるのか、どこから出てきたのかを知りたかったです。

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■35668 / inTopicNo.7)

　Re[6]: -1の何乗になるか

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□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(20回)-(2008/09/12(Fri) 09:25:05)

もともとは $2$i=\sqrt{-1}=(-1)^{\frac{1}{2}}$ からきているかと思います。

$2$i^{p}=i\cdot{i^{p-1}}=i\cdot\left(\sqrt{-1}\right)^{p-1}=i\cdot{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}$

こんなところではないでしょうか。

(1)は $2$\cos {\theta}$ が $2$\theta=n\pi$ のとき， $2$\pm{1}$ になるのが元ネタだと思われるので，それ以上は三角関数を勉強せいとしか言いようがないっす。

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■35670 / inTopicNo.8)

　Re[7]: -1の何乗になるか

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□投稿者/ 青紫一般人(4回)-(2008/09/12(Fri) 10:34:38)

よくわかりました。ありがとうございました。

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