 | 横から失礼します。
(1)
I = ∫[0,π/4]sin(2x)dxとおきます。
倍角の公式によりsin(2x) = 2*sin(x)*cos(x)です。
sin(x) = tとおくと、cos(x)dx = dtで、tの積分範囲は[sin(0),sin(π/4)] = [0,1/√2]です。
よって、I = ∫[0,1/√2]2tdt = [2*(t^2)/2]_[0,1/√2] = (1/√2)^2-0^2 = 1/2
# miyupさんは、(d/dx){(sin(x))^2} = 2*sin(x)*cos(x) = sin(2x)から、
# 直接∫[0,π/4]{2*sin(x)*cos(x)}dx = [(sin(x))^2]_[0,π/4]と計算されているものと思います。
(2)
J = ∫[0,3]{√(9-x^2)}dxとおきます。
x = 3*sin(t)とおくと、dx = 3*cos(t)dtで、
xの積分範囲が[0,3] = [3*sin(0),3*sin(π/2)]なので、tの積分範囲は[0,π/2]です。
0 ≦ t ≦ π/2で、cos(t) ≧ 0であることに注意して、
√(9-x^2) = √(3^2-(3*sin(t))^2) = √((3*cos(t))^2) = 3*cos(t)
よって、J = ∫[0,π/2]{3*cos(t)}*3*cos(t)dt = 9∫[0,π/2]{(cos(t))^2}dt
ここで、倍角の公式より、(cos(t))^2 = (1+cos(2t))/2です。
J = 9∫[0,π/2]{(1+cos(2t))/2}dt = (9/2)[t]_[0,π/2]+(9/2)∫[0,π/2]{cos(2t)}dt
後半の積分で、2t = uとおけば、2dt = duで、uの積分範囲は[0,π]です。
J = (9/2)(π/2-0)+(9/2)∫[0,π]{cos(u)}(du/2) = 9π/4+(9/4)∫[0,π]{cos(u)}du
= 9π/4+(9/4)[sin(u)]_[0,π] = 9π/4+(9/4)(0-0) = 9π/4
# y = √(9-x^2)とおけば、x^2+y^2 = 3^2で、実は原点を中心とした半径3の円の
# 0 ≦ x ≦ 3, 0 ≦ y ≦ 3の部分の面積です。
# miyupさんはこのことを積極的に利用して、積分計算をせずに直接答えを書いています。
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