数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 重積分の問題です / Page: 0]

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■35601 / inTopicNo.1)

　重積分の問題です

□投稿者/ SAT 一般人(1回)-(2008/09/09(Tue) 12:59:01)

∬[D]　(x-1)dxdy　{D:x^2-2x+y^2<=0，x>=0}
を求める問題です。Dは積分領域です。

途中までは式を書けたのですが、無理関数の積分をどうすればいいのか･･･教えていただけませんでしょうか？よろしくお願いします。

Dは中心(1,0)、半径1の半円の内部で、
y=-x^2+2xより、
∬[D]　(x-1)dxdy=∫[0→2]dx∫[0→√(-x^2+2x)](x-1)dy
=∫[0→2](x-1)√(-x^2+2x)dx
=∫[0→2]x√(-x^2+2x)dx-∫[0→2]√(-x^2+2x)dx

√の中をｔとおいてみたりしましたが、結局(-x+1)/√(-x^2+2x)が残ってしまいます･･･
よろしくお願いします。

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■35603 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 重積分の問題です

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□投稿者/ SAT 一般人(3回)-(2008/09/09(Tue) 13:28:27)

すみません、√の中身-x^2+2xをｔとおいたら、dx=-2(x-1)dtより、
∫(x-1)√(-x^2+2x)dx
=∫(x-1)√t・{-2(x-1)}dt
=∫-√t/2・dt
となり、積分できそうです。お騒がせしました。

ただ、積分区間が
x　0→2のときt　0→0になってしまい、これだと値は０ということになってしまうのでしょうか？
よろしくお願いします。

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■35604 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 重積分の問題です

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□投稿者/ WIZ 大御所(254回)-(2008/09/09(Tue) 13:53:23)

I = ∫[0→2]{x√(-x^2+2x)}dx, J = ∫[0→2]{√(-x^2+2x)}dxとおきます。

-x^2+2x = 1-(x-1)^2です。0 ≦ x ≦ 2で、-1 ≦ x-1 ≦ 1ですから、
x = sin(t), -π/2 ≦ t ≦ π/2とおくことができます。
またこのtの範囲で、cos(t) ≧ 0ですから、√(-x^2+2x) = √(1-sin(t)^2) = cos(t)となります。
dx = cos(t)*dtですから、

以上から
I = ∫[-π/2→π/2]{sin(t)cos(t)}cos(t)dt = [(cos(t)^3)/3]_[-π/2→π/2] = 0
J = ∫[-π/2→π/2]{cos(t)}cos(t)dt = ∫[-π/2→π/2]{(1+cos(2t))/2}dt = [t/2+sin(2t)/4]_[-π/2→π/2] = 0
となります。

なので、確かに定積分I+J = 0となりますね。

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■35605 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 重積分の問題です

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□投稿者/ SAT 一般人(5回)-(2008/09/09(Tue) 14:12:54)

お返事ありがとうございます。
計算上は０になりますよね。
ただ、ひとつ疑問といいますか、すっきりしないことがあるのですが･･･
感覚的にですが、これは円の面積を求める問題として捉えることができると思うのです。どうも面積が０になるというのが･･･
最初の積分区間を０→２（円の端から端まで）ではなく、０→１（円の端から中心まで）として、いったん円の1/4を求めて、後で4倍する･･･と考えるのは間違いでしょうか？よろしければ、ご教授いただけませんでしょうか、よろしくお願いします。

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■35606 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 重積分の問題です

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□投稿者/ WIZ 大御所(256回)-(2008/09/09(Tue) 16:15:11)

たくさん書き間違いをしていましたので、訂正させて頂きます。

> -x^2+2x = 1-(x-1)^2です。0 ≦ x ≦ 2で、-1 ≦ x-1 ≦ 1ですから、
> x = sin(t), -π/2 ≦ t ≦ π/2とおくことができます。

x-1 = sin(t)でした。

> またこのtの範囲で、cos(t) ≧ 0ですから、√(-x^2+2x) = √(1-sin(t)^2) = cos(t)となります。
> dx = cos(t)*dtですから、

「ですから、」→「です。」に訂正します。

> I = ∫[-π/2→π/2]{sin(t)cos(t)}cos(t)dt = [(cos(t)^3)/3]_[-π/2→π/2] = 0
> J = ∫[-π/2→π/2]{cos(t)}cos(t)dt = ∫[-π/2→π/2]{(1+cos(2t))/2}dt = [t/2+sin(2t)/4]_[-π/2→π/2] = 0

J = (中略) = [t/2+sin(2t)/4]_[-π/2→π/2] = π/2
またx = 1+sin(t)より、
I = ∫[-π/2→π/2]{(1+sin(t))*cos(t)}cos(t)dt = [(cos(t)^3)/3]_[-π/2→π/2]+J = 0+π/2
でした。

> なので、確かに定積分I+J = 0となりますね。

I+J = πでした。

SATさんの計算と合わない件については何か分かったらお知らせします。

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■35624 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 重積分の問題です

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□投稿者/ SAT 一般人(6回)-(2008/09/10(Wed) 09:24:34)

WIZさん、詳しいご説明ありがとうございます。

私もWIZさんのように計算してみたのですが、どうしても答えが0になってしまいます･･･

∫(x-1)√(-x^2+2x)dx
=∫(x-1)√1-(x-1)^2dx

x-1=sinθとおくと、dx=cosθdθ　積分区間はx:[0→2]からθ:[-π/2→π/2]に変更。よって、
∫sinθ(cosθ)^2dθ
=-1/3[(cosθ)^3]
θ:[-π/2→π/2]なので
0
計算が間違ってますでしょうか･･･できればお返事いただけますとありがたいです、よろしくお願い致します。

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