 | 方法はありますが、膨大な計算が必要で手作業ではかなり厳しいものと思います。
(1)冪を計算して3^(1/3), 5^(1/5), 7^(1/7)を消去していく方法。
(2)整数係数の代数方程式が有理数のアーベル拡大体内に解を持てば、
その共役数も解であるという性質を使い、
Q[3^(1/3), 5^(1/5), 7^(1/7), e^(i2π/3), e^(i4π/3), e^(i2π/5), e^(i4π/5),
e^(i6π/5), e^(i8π/5), e^(i2π/7), e^(i4π/7), e^(i6π/7), e^(i8π/7),
e^(i10π/7), e^(i12π/7)]における、
3^(1/3)+5^(1/5)+7^(1/7)の共役数(自身を含めて3*5*7 = 105個)の基本対象式が
有理数になることを利用して、代数方程式の係数を決定していく方法。
(1)については具体的には以下のような計算をすれば良いと思います。
7^(1/7) = x-3^(1/3)-5^(1/5)の両辺を7乗して、
7 = (x-3^(1/3)-5^(1/5)) = Σ[k=1,4]{f[1,k]*5^(k/5)}となります。
ここでf[1,k]は{x,有理数,3^(1/3)}から四則演算で構成できる量です。
7 = Σ[k=1,4]{f[1,k]*5^(k/5)}の両辺を2乗, 3乗, 4乗して、
7^2 = Σ[k=1,4]{f[2,k]*5^(k/5)}
7^3 = Σ[k=1,4]{f[3,k]*5^(k/5)}
7^4 = Σ[k=1,4]{f[4,k]*5^(k/5)}を得ます。
Fをi行j列がf[i,j]である行列とし、Fの逆行列をF^(-1)と書くことにすると
T({5^(1/5),5^(2/5),5^(3/5),5^(4/5)}) = (F^(-1))*T({7,7^2,7^3,7^4})です。
# T(A)は行列Aの転置行列です。
上記から、5^(1/5) = g(x,3^(1/3))となります。
g(x,3^(1/3))は{x,有理数,3^(1/3)}から四則演算で構成できる量です。
5^(1/5) = g(x,3^(1/3))の両辺を5乗して, 5 = Σ[k=1,2]{h[1,k]*3^(k/3)}となります。
h[1,k]は{x,有理数}から四則演算で構成できる量です。
5 = Σ[k=1,2]{h[1,k]*3^(k/3)}の両辺を2乗して、
5^2 = Σ[k=1,2]{h[2,k]*3^(k/3)}得ます。
Hをi行j列がh[i,j]である行列とするとT({3^(1/3),3^(2/3)}) = (H^(-1))*T({5,5^2})です。
上記から、3^(1/3) = p(x)となります。
p(x)は{x,有理数}から四則演算で構成できる量です。
3^(1/3) = p(x)の両辺を3乗して、出てきた有理数の分母の最小公倍数を両辺にかければ
目的の代数方程式となります。
(2)については具体的には以下のようになります。
{x|x = (3^(1/3))(e^(i2aπ/3))+(5^(1/5))(e^(i2bπ/5))+(7^(1/7))(e^(i2cπ/7))}
という集合を考えます。
ここで、a,b,cは整数で、0 ≦ a ≦ 2, 0 ≦ b ≦ 4, 0 ≦ c ≦ 6です。
この集合の105個の要素について基本対象式s[1]〜s[105]を計算します。
s[1]〜s[105]は全て有理数となります。
s[0] = 1として、Σ[k=0,105]{s[k]*(-x)^k} = 0に出てきた有理数の分母の最小公倍数を
両辺にかければ目的の代数方程式となります。
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