 | g[n](x) = ∫[0,x]{(x-y)^(n-1)}f(y)dyと解釈して回答します。
f(y) = y-1, f'(y) = 1です。
部分積分により、
g[n](x) = [-{(x-y)^n}/n]_[y=0,x]-∫[0,x]{-{(x-y)^n}/n}f'(y)dy
= {(x^n)/n-0}+(1/n)∫[0,x]{(x-y)^n}dy
= (x^n)/n+(1/n)[{(x-y)^(n+1)}/(n+1)]_[y=0,x]
= (x^n)/n+(1/(n*(n+1)){0-x^(n+1)}
= (x^n)/n-(x^(n+1))/(n*(n+1))
g'[n](x) = x^(n-1)-(x^n)/n = (x^(n-1))*(1-x/n)
nが偶数の場合、
x < 0ならば、g'[n](x) > 0なので、g[n](x)は増加。
x = 0ならば、g'[n](x) = 0なので、g[n](x)は変曲点。
0 < x < nならば、g'[n](x) > 0なので、g[n](x)は増加。
x = nならば、g'[n](x) = 0なので、g[n](x)は極大。g[n](n) = (n^(n-1))-(n^n)/(n+1) = (n^(n-1))/(n+1)
n < xならば、g'[n](x) < 0なので、g[n](x)は減少。
nが奇数の場合、
x < 0ならば、g'[n](x) < 0なので、g[n](x)は減少。
x = 0ならば、g'[n](x) = 0なので、g[n](x)は極小。g[n](0) = 0
0 < x < nならば、g'[n](x) > 0なので、g[n](x)は増加。
x = nならば、g'[n](x) = 0なので、g[n](x)は極大。g[n](n) = (n^(n-1))-(n^n)/(n+1) = (n^(n-1))/(n+1)
n < xならば、g'[n](x) < 0なので、g[n](x)は減少。
# 計算間違いしていたらごめんなさい。
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