 | y=(x^2+ax+b)/(x^2-x+1) (A)
をxの方程式と見たときの実数条件を考えます。
が、以下の方法を使うより微分を使ったほうが簡単だと思います。
二次方程式
x^2-x+1=0
は実数解を持ちませんので、(A)の右辺の分母は0はなり得ません。
従って(A)から
(x^2-x+1)y=x^2+ax+b
これより
(y-1)x^2-(a+y)x+y-b=0 (A)'
(i)y=1のとき
(A)'より
(a+1)x=b-1 (B)
(I)(a,b)=(-1,1)のとき
(B)は常に成立しますが(A)は
y=1
となり題意を満たさず不適
(II)a=-1、b≠1のとき
(A)は
y=(x^2-x+b)/(x^2-x+1)=1+(b-1)/(x^2-x+1)
=1+(b-1)/{(x-1/2)^2+3/4}
と変形できますので
(x-1/2)^2+3/4≧3/4
に注意すると
b>1のとき1<y≦1+4(b-1)/3
b<1のとき1+4(b-1)/3≦y<1
となり、いずれの場合も最大値、最小値の一方しか存在しないゆえ不適。
よって少なくともa≠-1 (P)
(ii)y≠1のとき
(A)'はxの二次方程式となりますので解の判別式をDとすると
D=(a+y)^2-4(y-1)(y-b)≧0
3y^2-(4+4b-2a)y+4b-a^2≦0 (A)"
題意から(A)"の解が
1/3≦y≦3
でなければなりませんので
3y^2-(4+4b-2a)y+4b-a^2=0
の解がy=3,1/3とならなければなりません。よって解と係数の関係から
(4+4b-2a)/3=3+1/3 (D)
(4b-a^2)/3=3・(1/3) (E)
(P)に注意して、(D)(E)を連立して解くと
(a,b)=(3,-3/2)
よって
(a,b)=(3,-3/2)
となります。
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