 | (定義域内の)全てのxに対してf''(x) ≧ 0ということは、f'(x)は単調増加ということです。
(1)x = aの場合
g(x) = f(x)-{f'(a)*x+f(a)-f'(a)*a}とおきます。
g(a) = f(a)-{f'(a)*a+f(a)-f'(a)*a} = 0となり、題意は成立します。
(2)x < aの場合
平均値の定理より、(f(a)-f(x))/(a-x) = f'(c), x < c < aとなるcが存在します。
f'(x)は単調増加でから、f'(c) ≦ f'(a)です。
よって、(f(a)-f(x))/(a-x) ≦ f'(a) ⇒ f(a)-f(x) ≦ f'(a)*(a-x) ⇒ f'(a)-f'(a)*(a-x) ≦ f(x)
となって題意は成立します。
(3)x > aの場合
平均値の定理より、(f(x)-f(a))/(x-a) = f'(d), a < d < xとなるdが存在します。
f'(x)は単調増加でから、f'(a) ≦ f'(d)です。
よって、(f(x)-f(a))/(x-a) ≧ f'(a) ⇒ f(x)-f(a) ≧ f'(a)*(x-a) ⇒ f(x) ≧ f(a)+f'(x)*(x-a)
となって題意は成立します。
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