数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: 別解希望… / Page: 0]

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■35532 / inTopicNo.1)

　別解希望…

□投稿者/ math☆ 一般人(5回)-(2008/09/07(Sun) 14:16:25)

実数a,ｂに対して、3次方程式x^3+ax^2+bx+1=0は１つの実数解と２つの虚数解をもちβ=α^3(これらは虚数）が成り立つ。
このとき、α、β、a,bを求めよ。

与式の左辺をf(x)とおく微分してf'(x)

f'(α)=0,f'(β=α^2)=0より
α=pi+q(p,qは実数でp≠0）とおける
上に代入して…とすると未知数４つに対し方程式4本なので
求められるとおもうのですが、如何せん計算量が膨大なので
もっとうまいやり方がないのかと思い、相談させていただきました。
解と係数でもやってみたのですが、答えが求めりませんでした。

お願いします。。

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■35537 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 別解希望…

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□投稿者/ WIZ ベテラン(237回)-(2008/09/07(Sun) 15:52:46)

複素数解をα,βとして、β = α^3となると解釈して良いですか?
またはβ = α^2ですか? この点が明確にならないと回答できません。

後半のご自身解法については方針が良く分かりません。
「f'(α)=0,f'(β=α^2)=0」の部分は、何故そうだと思われるのでしょう?

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■35541 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 別解希望…

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□投稿者/ math☆ 一般人(6回)-(2008/09/07(Sun) 16:49:49)

β = α^2でした。すいません。
なぜならば、グラフを書くと、そうなりませんか？
3次関数のグラフはx軸と1点でしか交わらないわけですし・・・

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■35547 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 別解希望…

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□投稿者/ Conj 一般人(1回)-(2008/09/07(Sun) 18:28:00)

■No35541に返信(math☆さんの記事)
> β = α^2
が共役な複素数を用いて
x^3 + 2*x^2 + 2*x + 1=0を得ます。（導いてください）

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■35553 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 別解希望…

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□投稿者/ math☆ 一般人(7回)-(2008/09/07(Sun) 22:22:35)

Coniさん、そこのところをもう少し教えていただけませんか？

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■35554 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 別解希望…

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□投稿者/ Conj 一般人(2回)-(2008/09/07(Sun) 22:37:20)

2008/09/07(Sun) 22:44:59 編集(投稿者)

■No35553に返信(math☆さんの記事)
> Coniさん、そこのところ
In[43]:=
α = A + B*I;
Expand[α^2]
ComplexExpand[{Re[%], Im[%]}]

Out[44]=
A^2 + 2*I*A*B - B^2

Out[45]=
{A^2 - B^2, 2*A*B}

In[46]:=
Solve[{A, -B} == {A^2 - B^2, 2*A*B}, {A, B}]<----注視して!

そこのところ
　うまく伝えて

Out[46]=
{{A -> 0, B -> 0}, {A -> 1, B -> 0},
{B -> -(Sqrt[3]/2), A -> -(1/2)},
{B -> Sqrt[3]/2, A -> -(1/2)}}

In[47]:=
α /. {B -> -(Sqrt[3]/2), A -> -(1/2)}
Expand[%^2]

Out[47]=
-(1/2) - (I*Sqrt[3])/2

Out[48]=
-(1/2) + (I*Sqrt[3])/2

1973年(S.48)、ペドロ＆カプリシャスのヒット曲です。
歌詞
　阿久悠　ジョニイが来たなら　伝えてよ
　二時間待ってたと
　割と元気よく　出て行ったよと
　お酒のついでに話してよ
　友だちなら　そこのところ
　うまく伝えて

　ジョニイが来たなら　伝えてよ
　わたしは大丈夫
　もとの踊り子で　また稼げるわ
　根っから陽気に出来てるの
　友だちなら　そこのところ
　うまく伝えて

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■35556 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 別解希望…

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□投稿者/ Conj 一般人(3回)-(2008/09/07(Sun) 23:27:38)

■No35554に返信(Conjさんの記事)
> 2008/09/07(Sun) 22:44:59 編集(投稿者)
>
> ■No35553に返信(math☆さんの記事)
>>Coniさん、そこのところ
> そこのところ
> 　うまく伝えて

実部=0虚部=0の交点として
巧く伝えたァーい。
サービス　満点　至れりツクせり；　添付図

693×502 => 250×181

1220797658.gif/6KB

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■35557 / inTopicNo.8)

　Re[3]: 別解希望…

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□投稿者/ WIZ ベテラン(243回)-(2008/09/08(Mon) 00:57:37)

f(x) = x^3+ax^2+bx+1 = 0の解を、実数t, 複素数α,α^2とします。
# α^2 = βとします。

解と係数関係より、
t+α+α^2 = -a・・・・・(1)
tα+tα^2+α*α^2 = b・・・・・(2)
tα*α^2 = -1・・・・・(3)

(3)より、t ≠ 0ですから、α^3 = -1/t・・・・・(4)
1/(t^(1/3)) = uとおくと、(4)より、(α+u)(α^2-uα+u^2) = 0
uは実数、αは複素数なので、αは、
α^2-uα+u^2 = 0・・・・・(5)
の解です。

(1)より、α^2 = -a-t-αです。これを(5)に代入して、
(-a-t-α)-uα+u^2 = 0 ⇒ (1+u)α = u^2-a-tとなります。
もし、1+u ≠ 0とすると、(1+u)αは実数でない複素数であり、
これが実数u^2-a-tに等しいことになり不合理です。
よって、1+u = 0, u^2-a-t = 0とならなければなりません。

u = -1, t = u^3 = -1, a = u^2-t = 2となります。
(5)はα^2+α+1 = 0となり、α = (-1±i√3)/2となります。
# α = (-1+i√3)/2のとき、α^2 = (-1-i√3)/2です。
# α = (-1-i√3)/2のとき、α^2 = (-1+i√3)/2です。
また、α^2+α = -1, α^3 = 1です。

(2)より、b = (-1)(-1)+1 = 2となります。

以上から、f(x) = x^3+2x^2+2x+1となります。

逆に、f(x) = x^3+2x^2+2x+1 = (x+1)(x^2+x+1)の場合、
解は、x = -1という実数と、x = (-1±i√3)/2という2つの複素数であり、
{(-1+i√3)/2}^2 = (-1-i√3)/2, {(-1-i√3)/2}^2 = (-1+i√3)/2ですから、
題意を満たします。

以上から、a = b = 2,
{α,β} = {(-1+i√3)/2,(-1-i√3)/2}または{(-1-i√3)/2,(-1+i√3)/2}
となります。

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■35559 / inTopicNo.9)

　Re[4]: 別解希望…

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□投稿者/ math☆ 一般人(8回)-(2008/09/08(Mon) 01:32:29)

WIZ様、明快な解答を示していただいてありがとうございます。

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■35564 / inTopicNo.10)

　Re[5]: 別解希望…

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□投稿者/ 豆付き人(75回)-(2008/09/08(Mon) 09:22:03)

2008/09/08(Mon) 09:24:01 編集(投稿者)

問題が不明確ですが、
(1)β=α^3の場合、(こう書かれています)
実係数なので、β=α~=α^3
絶対値を取れば|α|=1
よって、根と係数の関係から、実根をtとすると、
tαα~=t=-1
α=cosθ+isinθ　とおくと、
cos(3θ)+isin(3θ)=cos(-θ)+isin(-θ)
3θ=-θ+2nπ
θ=nπ/2
αは虚数なので、結局3根は-1、±i

(2)β=α^2の場合、(途中から変わっています）
実係数なので、β=α~=α^2
絶対値を取れば|α|=1
よって、根と係数の関係から、実根をtとすると、
tαα~=t=-1
α=cosθ+isinθ　とおくと、
cos(2θ)+isin(2θ)=cos(-θ)+isin(-θ)
2θ=-θ+2nπ
θ=2nπ/3
αは虚数なので、結局3根は-1、(-1±i√3)/2

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■35565 / inTopicNo.11)

　Re[6]: 別解希望…

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□投稿者/ WIZ ベテラン(244回)-(2008/09/08(Mon) 09:53:36)

豆さんへ
> 問題が不明確ですが、

途中のレスをとばさず全部読みましょう。
私も同じ疑問(β = α^3なのかβ = α^2なのか)を感じて質問者に確認しました。
結果、問題はβ = α^2であるとの返信をもらっています。

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■35566 / inTopicNo.12)

　Re[7]: 別解希望…

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□投稿者/ 豆付き人(76回)-(2008/09/08(Mon) 10:04:45)

失礼しました。
ただ、それはあまり問題ではなく、異なるやり方を
示しただけですので。

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■35567 / inTopicNo.13)

　Re[5]: 別解希望…

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□投稿者/ Conj 一般人(4回)-(2008/09/08(Mon) 11:03:48)

http://page.freett.com/NonSection/jonyhenodengon.htm
> β = α^2
（再掲；)
が共役な複素数を用いて
x^3 + 2*x^2 + 2*x + 1=0を得ます。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
そこのところ　　うまく伝えて　　うまく伝えてみます；
α = A + B*I;
Expand[α^2]
ComplexExpand[{Re[%], Im[%]}]
={A^2 - B^2, 2*A*B}

{A, -B}={A^2 - B^2, 2*A*B}を解けばよい。

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■35593 / inTopicNo.14)

　Re[6]: 別解希望…

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□投稿者/ math☆ 一般人(9回)-(2008/09/08(Mon) 23:04:24)

豆さん、問題は「β=α^2」です。
あと、絶対値を取れば|α|=1というのはどこから求められるのですか？

WIZさん、上に書いた自分の方針：f(x)は極値をもつ⇒f'(α)=0,f'(β=α^2)=0
と考えたのですが、これについて再度言及願いたいのですが...スレが長くなってしまいますかね？

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■35595 / inTopicNo.15)

　Re[7]: 別解希望…

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□投稿者/ 豆付き人(77回)-(2008/09/09(Tue) 07:05:10)

＞絶対値を取れば|α|=1というのはどこから求められるのですか？
β=α~=α^2
絶対値を取って、
|α~|=|α^2|
∴|α|=1

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■35596 / inTopicNo.16)

　Re[7]: 別解希望…

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□投稿者/ WIZ 大御所(252回)-(2008/09/09(Tue) 07:08:09)

> WIZさん、上に書いた自分の方針：f(x)は極値をもつ⇒f'(α)=0,f'(β=α^2)=0
> と考えたのですが、これについて再度言及願いたいのですが...スレが長くなってしまいますかね？

f(x) = x^3+ax^2+bx+1という3次関数が極値を持つためには、
1階導関数f'(x) = 3x^2+2ax+bに対してf'(x) = 0が実数解を持つ必要があります。

この問題ではf'(x) = 0は2次方程式ですから、2つの異なる実数解となることが必要です。
# f'(x) = 0は実数係数の2次方程式ですから、重解を持てばそれは実数解です。
# f'(x) = 0が重解を持てば、それはf''(x) = 0の解でもあり、f(x)の変曲点となってしまいます。

以上からf(x)が極値を持つならば、αとβは実数でない複素数ですから、
これらがf'(x) = 0の解となることはありえません。

この方針(?)で、f(x) = 0が1個の実数解しか持たないという問題を考える場合、
以下のどれか1つが成立すれば良いです。(以下のどれか2つ以上が同時に成立することはありません。)
(1)f(x)は極値を持たない。
　⇒f'(x) = 0が実数解を持たない。判別式D = a^2-3b < 0
(2)f(x)は極値を持ち、極大値が負である。
　⇒f'(x) = 0が2つの異なる実数解を持つ。判別式D = a^2-3b > 0, f((-a-√D)/3) < 0
(3)f(x)は極値を持ち、極小値が正である。
　⇒f'(x) = 0が2つの異なる実数解を持つ。判別式D = a^2-3b > 0, f((-a+√D)/3) > 0

上記と、αとβ = α^2がf(x) = 0の解であるこを組み合わせてこの問題が解けるのかどうかは
分かりませんが。

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■35615 / inTopicNo.17)

　最後の質問

▲▼■

□投稿者/ math☆ 一般人(10回)-(2008/09/09(Tue) 23:04:44)

WIZさん、自分の誤りをようやく自覚できました。ありがとうございます。

最後に1つだけ質問してもよろしいでしょうか？

>>1/(t^(1/3)) = uとおくと
の箇所ですが、何をねらって（!?）このような変数置き換えをなさったのでしょうか？なんとなくはわかるのですが（後半を読むと）
WIZさんから直接にご指導いただきたく、質問させていただきました。

よろしくお願いします。

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■35620 / inTopicNo.18)

　Re[9]: 最後の質問

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□投稿者/ WIZ 大御所(258回)-(2008/09/10(Wed) 00:30:56)

>> 1/(t^(1/3)) = uとおくと
> の箇所ですが、何をねらって（!?）このような変数置き換えをなさったのでしょうか？

計算の見通しを良くするためです。

α^3 = -1/tから、α^3+1/t = 0ですよね。
これを直接{α+1/(t^(1/3))}{α^2+1/(t^(1/3))*α+1/(t^(2/3))} = 0
と変形(因数分解)しても良かったのですが、分かり難いと思いました。

そこで、1/(t^(1/3)) = uすなわち1/t = u^3とおくと、
α^3+1/t = α^3+u^3 = (α+u)(α^2+αu+u^2)と因数分解が分かり易く
なると思い、置き換えました。

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■35621 / inTopicNo.19)

　本当に最後です！

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□投稿者/ math☆ 一般人(11回)-(2008/09/10(Wed) 00:44:17)

そういうことでしたか、あと最後と言ってしまったあとで申し訳ないのですが、
題意から「因数分解」するという発想は当初は「奇抜」なことのように感じました。しかし、解と係数の３条件だけでは論理の展開がうまくいかないので、第３式から因数分解という発想に至ったと（このように）解釈してよろしいでしょうか？

お願いします。

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■35622 / inTopicNo.20)

　Re[11]: 本当に最後です！

▲　■

□投稿者/ WIZ 大御所(259回)-(2008/09/10(Wed) 01:30:29)

感じたり、解釈したりするのはmath☆さんの自由なので、私の関与するところではありません。

> 解と係数の３条件だけでは論理の展開がうまくいかないので、第３式から因数分解という発想に至った

いまひとつ(私に)確認したいことが何なのか良く分からないのですが、
未知数4個より、立てられた式の数が3個と少ないため、未知数を決定できないと
思われているのなら、それは間違いです。

実数と複素数が混在している場合は、例えば以下のような例があります。
「実数である未知数x,yに対して、x+yi = 1+2iならばx,yの値は?」という問題は
式がx+yi = 1+2iの1個で、未知数はx,yと2個ですが、x = 1, y = 2と論理的に解けます。
# 勿論、未知数x,yが実数であるという条件があるから解けるのですが。
# x,yが複素数でも良いのなら決定不能です。

私の立てた3つの式にて、t,a,bが実数、αが実数でない複素数という条件を積極的に使えば、
3つの式で4つの未知数の値を論理的に決定できたという訳です。

あと因数分解だって論理展開の一部ですよね。
「A = 0かつA = BCならば、B = 0またはC = 0」っていう推論は結構使いますよね?

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