 | f(x) = x^3+px^2+qx+rとおくと、f(x) = {(x-α)^2}(x-β)と因数分解できるものとします。
f'(x) = 3x^2+2px+q = 2(x-α)(x-β)+(x-α)^2 = (x-α)(2x-α-β)
よってf(α) = f'(α) = 0となり、必要条件は示されました。
次に、f(α) = f'(α) = 0とすると、
f(x) = (x-α)(x^2+ax+b)より、f'(x) = (x^2+ax+b)+(x-α)(2x+a) = 3x^2+(2a-2α)x+(b-aα)
f'(α) = 0 = 3α^2+(2a-2α)α+(b-aα) = α^2+aα+b = 0
よってαはx^2+ax+b = 0の解となり、x^2+ax+b = (x-α)(x-β)と因数分解できることになる。
以上からf(x) = (x-α)(x^2+ax+b) = {(x-α)^2}(x-β)となり、十分条件も示されました。
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